読んで、全体像をつかむ

単元ガイド

単元ごとに「何を学ぶのか・どこで使うのか・どこでつまずきやすいか」を、 じっくり読める記事にまとめたよ。まず読んで流れをつかんでから、🔭 のレッスンで動かして確かめよう。

平面図形と角幾何編1図形の勉強は、まず「角」から。2本の直線が交わると4つの角ができて、向かい合う角(対頂角)はいつも等しい。この当たり前に見えるルールが、この先の平行線・三角形・合同まで、幾何ぜんぶの出発点になるよ。平行線と角幾何編1平行な2本の直線に、もう1本の線が斜めに交わると、同じ大きさの角があちこちに現れる。それが同位角と錯角。「平行なら等しい」「等しいなら平行」という行き来が、この先の三角形や合同の証明で何度も出てくる、とても働き者のルールだよ。三角形と多角形の角幾何編1どんな三角形でも、3つの角を合わせると必ず 180∘180^\circ。四角形なら 360∘360^\circ、五角形なら…? この単元は、平行線で学んだ「角の性質」を使って、多角形の角のひみつを解き明かすよ。作図幾何編1目もりのない定規とコンパスだけで、「ちょうど真ん中」や「ぴったり直角」を作り出す。それが作図だよ。長さをはかるのではなく、コンパスが生む「等しい距離」を組み合わせて図形を正確に描く、パズルみたいな単元だよ。図形の移動幾何編1図形を、形も大きさも変えずに「位置だけ」動かす3つの方法。それが平行移動・回転移動・対称移動だよ。この「動かしても重なる = 合同」という体感が、次に学ぶ「図形と合同」の出発点になるよ。図形と合同幾何編12つの図形が「ぴったり重ね合わせられる」とき、その2つは合同。三角形なら、辺や角のうちたった3つの条件がそろえば、残りの辺も角も全部等しいと言い切れる。この合同条件が、これから始まる「証明」のいちばんの武器になるよ。二等辺三角形幾何編22つの辺の長さが等しい三角形が二等辺三角形。真ん中の軸で折るとぴったり重なる「左右対称」の形だよ。この対称性から、底角が等しいこと・頂角の二等分線が底辺を垂直に二等分することが、次々と導かれるよ。平行四辺形幾何編2向かい合う2組の辺が平行な四角形。それが平行四辺形だよ。この「平行」というたった1つの約束から、対辺・対角・対角線について4つの性質が芋づる式に導かれる。証明問題の主役級の図形だよ。図形と相似幾何編2形はそっくり同じで、大きさだけが違う。それが「相似」だよ。合同が「完全なコピー」なら、相似は「拡大・縮小したコピー」。角はそのまま、辺はすべて同じ比で伸び縮みする、という関係だよ。平行線と線分の比幾何編2平行な直線は、それを横切る2本の辺を「同じ比」でスパッと切り分ける。この単元は、相似で学んだ「比」の考え方を、平行線という身近な形にあてはめて使いこなす練習だよ。おうぎ形と円の計量幾何編1円をピザのひと切れみたいに切り取った形が「おうぎ形」。弧の長さも面積も、じつは「中心角が1周のどれだけの割合か」という、たった1つの考え方だけで全部求められるよ。公式を丸暗記しなくても、割合さえつかめば怖くない単元だよ。円幾何編2円の上のどこから同じ弧を見ても、その角(円周角)はいつも同じ大きさになる。しかも中心から見た角(中心角)のちょうど半分。円という単元は、この「どこから見ても同じ」という不思議な性質を武器にしていくよ。三平方の定理幾何編2直角三角形の3つの辺の長さは、a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 という1本の式でいつも結ばれている。これが「三平方の定理」で、図形の長さを計算で求められるようにする、中学幾何のいちばん強力な道具だよ。三角形の五心発展(数学A)三角形には「中心」がいくつもある。どんな線を引いて、その交点をどこに取るかで、外心・内心・重心・垂心と、違う顔の中心が現れる。この単元では、三角形にひそむこの4つ(と傍心を合わせて五心)の性質を見ていくよ。チェバ・メネラウス発展(数学A)三角形の中で線分の比をぐるっと3つかけ合わせると、なぜかいつも 11 になる。チェバの定理とメネラウスの定理は、そんな「比の積」で図形のしくみを言い当てる強力な道具だよ。相似で身につけた「比で見る目」が、ここで一気に花ひらく。円の発展(接弦・方べき)発展(数学A)円の単元で身につけた「同じ弧 → 同じ角」を土台に、接線や2本の直線がからむ角・長さの関係まで踏み込むのがこの発展編。円に内接する四角形・接弦定理・方べきの定理という、円の「奥の手」を手に入れよう。三角比数学I直角三角形の「辺の比」に、sin⁡\sin・cos⁡\cos・tan⁡\tan という名前をつけるところから始まる単元。角度が決まれば辺の比が決まる、という関係を使って、直接は測れない長さや高さを角度から計算できるようにする。三角形と円をつなぐ、高校数学の大きな入り口だよ。正弦・余弦定理数学I三角比を使って、直角三角形にかぎらないどんな三角形でも、辺と角を自在に計算できるようにする単元。正弦定理と余弦定理という2つの強力な公式で、「分かっている辺や角から、残りを求める」ことができるようになる。三角比がぐっと実戦的になる場面だよ。図形と方程式数学II図形を「絵」ではなく「式」で扱う単元。円や直線を方程式で表し、点と直線の距離を公式で出し、ある条件を満たす点の集まり(軌跡)を式で求める。座標という土俵の上で、図形の問題を計算に置きかえていく、高校数学の大きな転換点だよ。不等式の表す領域数学II方程式が「線」を表すなら、不等式は「面(領域)」を表す。y>x+1y>x+1 のような不等式が、平面のどのあたりを塗りつぶすのかを読み取れるようにする単元だよ。前に学んだ図形と方程式を、線から「広がり」へ一歩進める話なんだ。二次曲線数学C円をぺちゃんこにつぶすと楕円。焦点を2つに増やして「距離の差」を一定にすると双曲線。放物線もふくめたこれらの曲線は、じつはどれも「焦点からの距離」の約束で定義される仲間だよ。図形と方程式で身につけた「距離で図形をとらえる」見方を、もう一歩おし進める単元なんだ。ベクトル数学Cベクトルは「向きと大きさをセットにした矢印」。位置や動きを、座標の数字だけでなく矢印そのものとして計算できるようにする道具だよ。和・実数倍・内積という3つの演算を覚えると、図形の問題が「式で解ける」ようになる、とても強力な単元なんだ。複素数平面数学C複素数を、数直線ではなく「平面上の点」として描く単元。すると複素数の掛け算が「回転と拡大」というはっきりした図形の動きに見えてくる。数の計算と平面の変形が同じものになる、少し不思議で美しい世界だよ。空間図形数学A紙の上の平面図形から、いよいよ立体へ。空間の対角線・球の体積や表面積・立体の切り口・展開図の最短経路まで、3次元の図形を「見て・回して・取り出して」つかむ単元だよ。難しそうに見えるけど、コツはいつも「立体を平面に直して、前に学んだ三平方で計算する」こと。空間ベクトル数学C平面で身につけたベクトルを、そのまま空間へ持ち上げる単元。矢印に「奥行き」を1つ足すだけで、和も内積も垂直条件も、平面のときとほとんど同じ形で使える。3次元がいきなり難しくなるわけじゃない、という安心を手にしよう。正負の数代数編10 より小さい数=マイナスの数が、ここで初めて登場するよ。正負の数は「数直線という1本の道」で見るのがコツ。たし算・ひき算は道の上を歩く移動、×(−1)\times(-1) は0をはさんだ折り返し。動きとして見てつかめば、符号でこんがらがらなくなるんだ。文字式と分配法則代数編1数の代わりに文字を使うと、まだ決まっていない数や、どんな数でも成り立つ関係を、1本の式で表せる。この単元は、文字式の読み方・まとめ方と、その中心にある「分配法則」を、長方形の面積として目で見て身につけるよ。一次方程式代数編1x+2=5x + 2 = 5 のような、xx が1個ぶんだけ入った等式が一次方程式。左と右がつりあった天秤だと思って、両がわに同じことをしながら xx だけを残していく。この「つりあいをくずさない」感覚がつかめれば、方程式はこわくないよ。比例・反比例代数編1片方が動くと、もう片方も決まった割合で連動する。それが比例と反比例。y=axy=ax は原点を通るまっすぐな直線、y=kxy=\dfrac{k}{x} は原点に近づく曲線(双曲線)。式とグラフを行き来しながら「関数」という考え方の入り口を体感していくよ。連立方程式代数編1xx と yy、2つの文字が入った式が2本セットで出てくるのが連立方程式。じつは1本の式は座標平面の1本の直線。だから解は「2本の直線が交わる点」。グラフにすると、答えが目に見える形で現れるよ。一次関数代数編1y=ax+by=ax+b のグラフはまっすぐな直線。この直線は、たった2つの数、かたむき aa と切片 bb で完全に決まるんだ。aa が「進む向きと急さ」、bb が「yy 軸を通る高さ」。この2つの意味をつかめば、式を見ただけで直線の姿が浮かぶようになるよ。展開・因数分解代数編2かっこの積を1本の式に開くのが「展開」、逆にかけ算の形に組み直すのが「因数分解」。どちらも (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 のような公式を、正方形や長方形のタイルの並べ替えとして見て理解していくよ。平方根代数編2「面積が2の正方形の、一辺の長さは?」 その答えが平方根 2\sqrt{2} だよ。2乗すると 2 になる数。正方形の面積から一辺を逆にたどる、という絵で見ると、 \sqrt{\ } の正体も、整数でぴたりと表せない「不思議な数」があることも、すんなり腑に落ちるんだ。二次関数代数編2y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q のグラフは「放物線」。ボールを投げたときの軌道のような、なめらかなお椀の形。一次関数の直線とちがって曲がるのが特徴だよ。aa・pp・qq の3つの数が、放物線の開き方・向き・頂点の場所をどう決めるかを、動かしながらつかんでいくんだ。二次方程式代数編2x2x^2 が入った方程式が二次方程式。x2+c=0x^2+c=0 の解は「放物線が xx 軸を横切る点」として見えるよ。だから解は2個・1個・0個と変わりうるのがおもしろいところ。因数分解・平方完成・解の公式という3つの解き方も、この放物線の絵の上で意味がつながっていくんだ。ヒストグラム・度数分布確率・統計(中学)たくさんの数字がずらっと並んでいても、そのままでは「どんなデータか」は見えてこない。ヒストグラムは、データを区切って棒の高さにする図。散らばりの「山の形」がひと目で見えるようになるのが、いちばんの手柄だよ。代表値(平均・中央値・最頻値)確率・統計(中学)たくさんのデータを「たった1つの数」で言い表したい。そのための数が代表値だよ。でも代表のさせ方は1つじゃない。平均・中央値・最頻値の3つは、同じデータでも違う場所を指すことがある。3つの性格の違いを『見て』つかむのがこの単元だ。箱ひげ図・四分位範囲確率・統計(中学)代表値がデータの「中心」を教えてくれるなら、箱ひげ図はデータの「散らばり(広がり)」を教えてくれる図。たった5つの場所だけで、データがどこからどこまで、どのくらいのかたまりで広がっているかをひと目でつかめる。だから複数のデータを見比べるのがすごく得意なんだ。確率の意味・相対度数確率・統計(中学)「表が出る確率は 12\tfrac12」って、どういう意味だろう? じつは確率は、何回も試したときに『どれくらいの割合で起きるか』が落ち着く先の数なんだ。試行を増やすほど割合が確率に近づく。この『近づいていく』ようすを見て、確率の正体をつかむ単元だよ。場合の数・樹形図確率・統計(中学)「全部で何通り?」を数えたいとき、頭の中だけで数えると必ずどこかで抜けたり重なったりする。樹形図は、枝を1段ずつ開いて『起こりうることを全部、もれなく重なりなく』並べる道具。数え上げの型を身につければ、確率の計算にまっすぐつながるよ。二次関数の発展・判別式数学I二次関数のグラフと二次方程式を、はっきり結びつける単元。放物線が xx 軸と何回交わるか、それを DD(判別式)というたった1つの数の符号だけで、方程式を解かずに読み取れるようにする。関数と方程式が同じものの表と裏だと見えてくるよ。式と証明・相加相乗平均数学II「本当にいつも成り立つの?」を確かめるのが式と証明の世界。その代表が相加平均・相乗平均の関係 a+b2≥ab\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab} だよ。文字で書くと難しそうだけど、面積の図で見れば「aa と bb をならして作った正方形は、同じ a×ba\times b の長方形をいつもはみ出す」という話。それをきちんと式で言い切る練習をする単元なんだ。高次方程式・n次関数数学II二次関数の次のステップ。xx の3乗をふくむ三次関数や、もっと高い次数の方程式をあつかう単元だよ。放物線がひと山だったのに対して、三次関数は「ひと山ひと谷」の SS 字。前に学んだ「グラフと xx 軸の交点＝方程式の実数解」という見方を、二次から高次へそのまま広げていくのが主役なんだ。指数・対数関数数学II「22 倍ずつ、22 倍ずつ」とふえていく増え方を関数にしたのが指数関数 y=axy=a^x。そしてその逆向き、「何乗したらこの数になる?」に答えるのが対数関数 y=log⁡axy=\log_a x だよ。この2つは y=xy=x という鏡をはさんでぴったり向かい合う、表と裏の関係。まずは計算より「形」と「鏡うつし」を目でつかむ単元なんだ。三角関数のグラフ数学II三角比で覚えた sin⁡\sin や cos⁡\cos を、角度を止めずにぐるぐる回しつづけると、波の形のグラフになる。それが三角関数だよ。単位円を回る点の高さをそのまま横に並べたのが y=sin⁡xy=\sin x。前に学んだ一次関数・二次関数のグラフに、規則正しくくり返す「波」という新しい仲間が加わる単元なんだ。数列・Σ・漸化式・帰納法数学B数が規則正しく並んだ列、それが数列だよ。2,5,8,11,…2,5,8,11,\dots のように一定の差で増えたり、1,2,4,8,…1,2,4,8,\dots のように倍々になったり。数列の単元では、その並びの規則を見つけ、たくさんの項の合計をずるく速く求め、規則から列を作り出す漸化式や、ドミノ倒しのような帰納法まで学ぶ。「規則を見つけて言い切る」力を育てる大きな単元なんだ。極限・近づく様子数学III「限りなく近づけたら、どこに向かう?」を考えるのが極限だよ。ぴったりその点に「到達する」のではなく、近づけた先の「行き先」を読み取る、という新しい見方。この考え方が、このあとの微分(接線)や積分(面積)の土台になる。数列で学んだ「近づく様子」を、なめらかな曲線の上でつかむ単元なんだ。微分・接線の傾き数学II曲線の「その一瞬の傾き」を求めるのが微分だよ。まっすぐな直線なら傾きは一目でわかるけれど、曲がった線の傾きは場所ごとに違う。そこで前に学んだ極限を使って、2点を限りなく近づけた先の傾き=接線の傾きをつかまえる。傾きの符号を読めば、グラフの山や谷まで見つけられるようになる、解析の中心の単元なんだ。積分・面積(区分求積)数学III曲線で囲まれた面積は、四角形や三角形の公式では出せない。そこで「細い短冊にきざんで、限りなく細くした先の合計」で求めるのが積分だよ。前に学んだ微分とは逆向きの操作で、こちらも極限が土台。面積だけでなく、円板を積み重ねて立体の体積まで同じ考えで求められる、解析の総仕上げの単元なんだ。分散・標準偏差(ばらつき)数学I箱ひげ図が散らばりを『5つの場所』で見せてくれたなら、分散・標準偏差は散らばりを『たった1つの数』で言い切る道具。平均のまわりにみんながどれくらいバラけているかを、比べられる数字にするんだ。データの分析でいちばん大事な、ばらつきのものさしだよ。相関・散布図・相関係数数学I分散・標準偏差が『1つのデータの散らばり』を測る道具だったなら、相関は『2つのデータの関係の強さ』を測る道具。勉強時間が増えると点数も上がるのか、その結びつきの強さを −1-1〜11 の1つの数(相関係数)で言い表すんだ。順列・組合せ数学A樹形図で場合の数を『1つずつ数える』ことをおぼえたら、次はもっと大きな数を一気に数える道具。それが順列と組合せだよ。『並べる=かけ算』『選ぶ=わり算』という2つの見方で、数え上げをぐんと速くする単元なんだ。条件付き確率数学Aふつうの確率が『全体の中でどれくらいか』を見るなら、条件付き確率は『ある条件を知った後の世界で、どれくらいか』を見る確率。全体をぐっと絞り込んでから、そのなかでの割合を考える。情報が1つ増えると確率がどう変わるかを追う単元だよ。反復試行・二項分布数学A同じことを何回もくり返すと、『何回起こるか』にはきれいな確率の山ができる。コインを4回投げて表が何回出るか、そのパターンを組合せで数えるのが反復試行、そこにできる山が二項分布だよ。数え上げと確率がひとつになる単元なんだ。確率分布と期待値数学B確率分布は『どの値がどれくらいの確率で出るか』の一覧、期待値はその分布の『平均的にどのあたりに出るか』を表す1つの数。確率の棒を重さだと思うと、ちょうどつり合う点が期待値になる。何回もくり返したときの平均のねらいどころを教えてくれる単元だよ。正規分布数学Bたくさんの人の身長やテストの点を集めると、平均のまわりに左右対称の『山』ができることが多い。この山の形が正規分布だよ。平均 μ\mu と標準偏差 σ\sigma のたった2つで山の位置と広がりが決まる、自然界でいちばんよく出てくる分布なんだ。確率漸化式数学B『今の確率』が分かっていると、『次の確率』を作れる。この関係を式にしたのが確率漸化式だよ。数列の漸化式とそっくりな形で、確率と数列がひとつに合わさる、高校の確率のまとめ役みたいな単元なんだ。約数と倍数数学A整数だけの世界を深くのぞく「整数の性質」の入口。約数と倍数は、その第一歩だよ。1212 個のタイルを長方形にきれいに並べかえられるかどうか。あまりが出ない並べ方こそが約数だ。割り算の暗記ではなく、「ぴったり敷きつめられるか」という図で、約数・倍数・素因数分解を一本につなげてつかむ単元なんだ。ユークリッドの互除法数学A2つの数の最大公約数(GCD)を、素早く確実に求める方法がユークリッドの互除法だよ。長方形を「入るかぎり大きい正方形」で切り取っていくと、最後に残った正方形の一辺が答え。前に学んだ約数・倍数の考えを土台に、「あまりで次を割る」という手続きの意味を、図でまるごとつかむ単元なんだ。不定方程式と格子点数学A2x+3y=122x+3y=12 のように、文字が2つあって答えが1つに決まらない方程式が不定方程式だよ。ふつうの方程式と違い、整数の解がとびとびにいくつも並ぶ。式を座標の直線と見て、そのうち格子点(縦横とも整数の点)だけを拾う、という見方でつかむ。前に学んだ互除法や文字式が、ここで解を作る道具になるんだ。合同式・余りの周期数学A整数を「ある数で割ったあまり」で仲間分けする、それが合同式の考え方だよ。時計が 1212 進むと同じ位置に戻るように、整数もある数だけ進むと同じあまりに戻る。この「あまりの周期」に注目すると、大きな数の計算やくり返しのパターンが、ぐっと見通しよく扱えるようになる単元なんだ。n進法数学Aふだん使う数字は、1010 集まると位が1つ上がる 1010 進法。でも「いくつ集まったら位が上がるか」は 1010 でなくてもいい。同じ量でも、束の大きさ(底)を変えると位の数字が変わる。それが nn 進法だよ。同じ 1313 個のブロックを 1010 ずつ・55 ずつ・22 ずつ束ね直して、位取りのしくみを根っこから見直す単元なんだ。