数学I
直角三角形の「辺の比」に、・・ という名前をつけるところから始まる単元。角度が決まれば辺の比が決まる、という関係を使って、直接は測れない長さや高さを角度から計算できるようにする。三角形と円をつなぐ、高校数学の大きな入り口だよ。
三角比の出発点は、直角三角形の辺の比。ある鋭角を1つ決めると、直角三角形の形は相似の分だけしか変わらないから、辺どうしの比は角度だけで決まってしまう。この「斜辺に対する高さの比」を 、「斜辺に対する底辺の比」を 、「底辺に対する高さの比」を と名づけたのが三角比だよ。
前に学んだ相似がここでも土台になっている。大きさの違う相似な直角三角形なら、同じ角に対する比はすべて等しい。だから比に角度で名前をつけられる。角度という「回転の量」を、辺の比という「数」に翻訳する道具、と思うと三角比の役割が見えてくる。
直角三角形の中だけだと、扱える角は より大きく より小さい範囲しかない。そこで半径 の円(単位円)を使って、三角比を鈍角や 、、 まで広げる。円周上の点の座標が、そのまま と になる、というのが単位円の見方だよ。
こうすると、鈍角の三角比が「座標のマイナス」として自然に表せる。三角形の枠をこえて円の上で考えることで、三角比はぐっと広い舞台で使えるようになる。この見方が、この先の三角関数へまっすぐつながっていくんだ。
・・ はバラバラの3つではなく、たがいに結びついている。まず 。そして三平方の定理から生まれる という関係。この2つ(相互関係)を使うと、3つのうち1つが分かれば残りも芋づる式に求められる。
三角比は、この先の正弦定理・余弦定理で三角形の辺と角を自在に結びつける主役になり、複素数平面では回転を表す言葉にもなる。まずはここで、角度と辺の比を行き来する感覚をしっかり手になじませよう。
三角比でいちばん多いつまずきは、・・ がどの辺の比だったかを取りちがえること。基準になるのはいつも「注目している角」で、その角から見て斜辺・となりの辺・向かいの辺のどれか、を毎回確かめよう。三角形の向きが回転していると、上が高さとはかぎらない。角のところに印をつけて、「向かい・となり・斜め」を指でたどってから比を書く癖をつけると、取りちがえが減るよ。
単位円で角を広げると、 や はマイナスになることがある。 より大きい角では、円周上の点が左側( 座標が負)に来るので が負になる、というのが理由。鈍角の三角比を「直角三角形の辺の比」の感覚のまま全部プラスだと思い込むと合わなくなる。角がどの範囲にあるかで符号が変わる、と単位円にもどって確かめよう。 は 〜 ではいつも 以上、というのも単位円を見れば納得できるよ。
を使うとき、 は の意味で、 ではないことにまず注意。そして、たとえば の値からこの式で を求めると、 のように符号が2通り出てくる。どちらを取るかは、角 が鋭角なのか鈍角なのか、つまり角の範囲を見て決めなければいけない。「 だから正のほう」と機械的に選ぶのではなく、単位円のどこにいる角かを必ず確認しよう。相互関係は3つの比を橋わたしする便利な道具だけど、符号の決定だけは自分で範囲を見て判断する、と覚えておくと安全だよ。