三角関数のグラフのガイド

三角関数のグラフは、単位円の上をぐるぐる回る点の「高さ」($y$ 座標)を、角度の順に横へ並べたもの。点が上に来れば波は山、下に来れば谷。前に学んだ三角比・単位円が、そのまま波の正体なんだ。$1$ 周まわると同じ高さにもどるので、グラフは同じ形をくり返す。この「くり返し」を周期というよ。

横軸の角度は、度ではなくラジアン(弧度法)で測る。$1$ 周が $360^\circ$、これをラジアンでは $2\pi$ と書く。だから $y=\sin x$ は $2\pi$ ごとに同じ波をくり返す。円を回る運動と、横に伸びる波が、同じものの2つの姿だと見えてくるのがこの単元のおもしろさだよ。

波の形は、$y=a\sin(bx)$ の $a$ と $b$ で調整できる。$a$ は振幅、つまり山の高さ。$a=2$ なら $\pm2$ まで、$a=3$ なら $\pm3$ まで振れる。$b$ は横方向の細かさで、$b$ を大きくするほど同じ幅にたくさんの波がつめこまれる。アプリでは2本のスライダーで、波が縦に伸び縮みし、横に密になっていくのを見られる。

$\cos$ のグラフは、$\sin$ を横に $90^\circ$ ($\dfrac{\pi}{2}$)ずらしただけの、同じ形の波。$\sin$ と $\cos$ は別々の波ではなく、スタート地点がずれた兄弟なんだ。振幅・周期・ずれ、この3つで波の見た目がすべて決まる、とつかんでおこう。

$\sin$ と $\cos$ を同じ角度で足すと、どうなると思う? じつはガタガタにならず、また1本のなめらかな波になる。たとえば $\sin\theta+\cos\theta$ は $\sqrt{2}\,\sin(\theta+45^\circ)$ という、振幅 $\sqrt{2}$ で位相が $45^\circ$ ずれた1つの波にまとまる。これが三角関数の合成だよ。

振幅が $\sqrt{2}$ になるのは、$\sqrt{1^2+1^2}$、つまり2つの波を直角三角形の2辺と見たときの斜辺(三平方の定理)だからだ。$45^\circ$ というずれは加法定理から出てくる。三角比・三平方といった前に学んだ道具が、波を1つにまとめる場面でつながる。合成を使うと、三角関数の最大・最小がぐっと求めやすくなるよ。