代数編1
0 より小さい数=マイナスの数が、ここで初めて登場するよ。正負の数は「数直線という1本の道」で見るのがコツ。たし算・ひき算は道の上を歩く移動、 は0をはさんだ折り返し。動きとして見てつかめば、符号でこんがらがらなくなるんだ。
正負の数の世界は、まん中に 0 を置いた1本の道(数直線)で全部見えるよ。0 より右がプラス、左がマイナス。右へ行くほど大きく、左へ行くほど小さい。この「1本の道」というイメージが、正負の数のすべての土台になるんだ。
たし算は右へ進むこと、ひき算は左へもどること。たとえば から 7 だけ左にもどると、0 をこえて にたどり着く。マイナスの答えも、道を歩いていくと自然に出てくる。数を「量」じゃなく「道の上の位置と移動」として見ると、プラスとマイナスが同じ土俵にのって、ひとつながりに扱えるようになるよ。
は、0 をはさんで反対側へパタンと折り返す操作。 は へ、 はまた へ。おもしろいのは、折り返しても 0 からの距離(絶対値)はずっと同じで、変わるのは右か左かの「向き」だけということ。だから2回折り返すと元にもどる。これが「マイナス×マイナス=プラス」の正体なんだ。
符号のかけ算のルールは、丸暗記するとすぐこんがらがる。でも「マイナスをかける=向きを1回ひっくり返す」と動きでとらえておけば、 も、向きを2回変えて元にもどっただけ、と腑に落ちる。ルールの「わけ」を折り返しの絵で持っておくのが、この先ずっと効いてくるよ。
正負の数は、これから習う代数のいちばん土台。次の「文字式と分配法則」では、この符号つきの数を文字と混ぜて計算していくし、方程式・関数でもマイナスの数はあたりまえに出てくる。ここで符号の扱いがあいまいだと、この先の式変形でずっと小さなミスがついて回るんだ。
使い道は代数だけじゃない。気温・標高・貯金と借金のように、基準より上か下かを表す場面はどこにでもある。統計で平均からのズレ(偏差)を考えるときも、割り算のあまりを考えるときも、正負の数が下じきになる。だからこそ、最初に「道の上の移動と折り返し」でしっかり体に入れておく価値があるよ。
いちばん多いつまずきが、 のような「マイナスの数を引く」計算。マイナスを引くのは、折り返しをもう一枚かませることなので、結局は右へ進む=たすのと同じで になる。記号の が「引く」なのか「マイナスの数」なのか、2つの役目を1つの形でこなしているのが混乱のもと。数直線で「向きの折り返しが何回起きるか」を数えると、迷いにくくなるよ。
が納得いかない、というのはとても自然なつまずき。ここは公式として飲み込む前に、「マイナスをかける=数直線の向きを1回ひっくり返す」と思い出そう。マイナスを2回かければ向きが2回変わって元(プラス側)にもどる、だから答えはプラス。折り返しの回数=符号、と結びつけておくと、符号だけ落ち着いて判断できるようになるよ。
と ではどちらが大きい? と聞かれて、数字の見た目につられて「5 の方が大きいから 」と答えてしまうミスが多い。数直線では左にあるほど小さいから、正しくは 。マイナスの世界は「0 に近いほど大きい」と、ふだんの感覚が逆になるんだ。
この取りちがえは、絶対値(0 からの距離)と大小をごっちゃにするのが原因。 は より「0 から遠い=絶対値は大きい」けれど、位置としては左にあるから「数としては小さい」。距離の話と位置の話を分けて、大小はいつも数直線の左右で決める、と決めておこう。困ったら道の絵にもどって、どちらが右かを見ればいいよ。