数学II
二次関数の次のステップ。 の3乗をふくむ三次関数や、もっと高い次数の方程式をあつかう単元だよ。放物線がひと山だったのに対して、三次関数は「ひと山ひと谷」の 字。前に学んだ「グラフと 軸の交点＝方程式の実数解」という見方を、二次から高次へそのまま広げていくのが主役なんだ。
三次関数のグラフは、右上がりの中にひと山とひと谷ができる 字の曲線。二次関数の放物線が 軸と最大2回しか交われなかったのに対し、 字は最大3回まで横切れる。だから三次方程式は実数解を3個まで持てる。まずは形として、この「うねり」を目に焼きつけよう。
アプリでは、因数分解した形 で見せる。かっこの中を にする 、つまり が、そのまま 軸との交点になる。因数のかっこが交点の位置を直接教えてくれる、という二次のときの関係が、そっくり生きているんだ。
因数分解できない式でも、考え方は変わらない。 のような形でも、「グラフが 軸と何回交わるか」を数えれば、それが実数解の個数だ。(山谷の深さ)や (上下の位置)を動かすと、交点が3個から1個へと変わっていく。方程式を解かずに、図の交わり方で解の個数を読む。判別式で二次を読んだのと同じ発想だよ。
を大きくして山も谷も消えると、曲線はただ右上がりになり、交点は1個だけ。 で全体を持ち上げても交点の数は変わる。二次で学んだ「グラフと 軸」の見方を土台に、次数が上がっても交点で数える、という一般化がこの単元のねらいだよ。
三次でも、2つの交点が重なる瞬間がある。 を に近づけて重ねると、そこで曲線は 軸を横切らずに接する。これが重解だ。3つの根をすべて重ねれば三重根になる。二次で が接する合図だったのと同じで、「横切る/接する」を見れば解の重なりが分かる。
この見方があると、高次方程式の実数解の個数を「グラフの上下」で整理できるようになる。式の次数が上がっても、交点で数える・接するで重なりを見る、という道具は変わらない。二次で身につけた感覚を、そのまま高次へ持ち込もう。
「まず因数分解しないと解の個数は分からない」と思い込むと、きれいに因数分解できない式で手が止まってしまう。でも実数解の個数は、グラフと 軸の交点の数を見れば分かる。因数分解は交点の「位置」まで教えてくれる便利な方法だけど、「個数」を知りたいだけなら、山と谷が 軸のどちら側にあるかを見れば足りる。因数分解できるかどうかと、解の個数を数えられるかどうかは、別の話だと分けて考えよう。
を大きくして交点が3個から1個に減ると、「残り2つの解はどこへ?」となる。二次のときと同じで、消えたのではなく、実数の範囲から外れて虚数解(複素数の解)になったんだ。三次方程式は必ず3つ解を持つけれど、そのうち実数として「見える」のが1個になった、という状態。交点が減っても解の総数が減ったわけではない、と押さえておくと、この先の複素数の学習とすっきりつながるよ。
係数を動かして交点の数が変わるのを見ていると、何がどう効いているのか混ざりやすい。 では、 は山と谷の「深さ」を、 は曲線全体の「高さ(上下移動)」を受け持っている。 を負に深くすると山谷がはっきりして交点が増えやすく、 を大きくすると山谷が消えて交点は1個。 は曲線をまるごと上下させて、 軸をまたぐ回数を変える。「＝うねりの深さ、＝高さ」と役割を分けておくと、なぜ交点の数が変わるのかを説明できるようになるよ。