数学C
平面で身につけたベクトルを、そのまま空間へ持ち上げる単元。矢印に「奥行き」を1つ足すだけで、和も内積も垂直条件も、平面のときとほとんど同じ形で使える。3次元がいきなり難しくなるわけじゃない、という安心を手にしよう。
空間ベクトルの心強いところは、平面ベクトルの自然な拡張になっていること。平面では の2成分だったのが、空間では の3成分になる。和も実数倍も、対応する成分どうしで計算するというルールはまったく同じ。奥行きの が1つ増えたぶん、同じ操作を3回くり返すだけなんだ。
だから、前に学んだ平面ベクトルの考え方がそのまま土台になる。新しく丸暗記することは少なくて、「平面でやったことを、成分1つぶん増やして繰り返す」と思えば、空間ベクトルはぐっと身近になるよ。
空間ベクトルの大きさ(長さ)は 。平面のときの に、 が1つ加わった形だね。これは前に空間図形で見た「直方体の対角線」とまったく同じ計算で、底面での三平方に、高さぶんの三平方をもう一度重ねたもの。空間の長さは、三平方を2段重ねにして測るんだと分かると腑に落ちる。
座標が3つあっても、長さを測る発想は平面と地続き。空間図形で身につけた「立体を平面に取り出す」感覚が、ここでもそのまま効いてくるよ。2点のあいだの距離も、それぞれの成分の差を ・・ ごとにとって、その差を使って同じ三平方の式にあてはめれば求められる。
空間の内積も、成分をかけて足すだけ。、 なら 。平面の式に3項めが加わっただけで、意味も使い方も同じだよ。
そして「垂直 内積が 」という関係も、空間でそっくり成り立つ。3次元では直角が目で見て分かりにくいけれど、内積を計算して かどうかを見れば、垂直かどうかを式で確実に判定できる。空間の中で直線や平面の垂直を扱うとき、この道具が主役になっていくんだ。
平面ベクトルに慣れていると、つい2成分のクセが出て、大きさや内積の計算で3つめの 成分を書き落としてしまう。大きさなら 、内積なら と、いつも「3つぶん」そろっているかを指差し確認しよう。成分が1つ増えたぶん、うっかり抜けやすいのが空間ベクトルの落とし穴。慣れるまでは、縦にそろえて3行ぶん書き出す癖をつけると抜けにくいよ。
平面では2本の基準ベクトルで平面上のどの点も表せたけれど、空間ではそれが3本必要になる。1つ次元が上がったぶん、位置を決めるのに必要な「物差し」が1本増えるんだ。空間の点を位置ベクトルで表すときは、独立な3方向をそろえて考えよう。ここを平面の感覚のまま2本で押し切ろうとすると、表せない点が出てきて行きづまる。何本の基準がいるかは次元の数だけ、と覚えておくと迷わないよ。
3次元の図は、平面に描くとどうしても遠近でゆがむので、見た目で「直角っぽい」と判断すると外しやすい。空間で2本のベクトルが垂直かどうかは、目測に頼らず内積を計算して になるかで判定するのが鉄則だよ。逆に、内積が と分かれば図がどんなにゆがんで見えても確実に垂直。図の見た目に引きずられず、式で決める習慣をつけよう。この「垂直 内積 」を軸にすると、空間内の直線や平面が垂直に交わる条件も、落ち着いて式に起こせるようになる。平面ベクトルで学んだ道具が、次元を1つ上げてもそのまま通用する、その心強さを味わってほしい単元だよ。