幾何編2
平行な直線は、それを横切る2本の辺を「同じ比」でスパッと切り分ける。この単元は、相似で学んだ「比」の考え方を、平行線という身近な形にあてはめて使いこなす練習だよ。
三角形の2辺を1本の直線が横切るとき、その直線が底辺と平行なら、2つの辺は同じ比に分けられる。 が に切られたら、 も 。これが「平行線と線分の比」の基本だよ。なぜそうなるかというと、平行だと角が等しくなって、大きい三角形と小さい三角形が相似(形が同じ)になるから。この単元の性質は、ぜんぶ相似から生まれているんだ。
だから「平行」の一言は、図の中でとても重い意味を持つ。平行と書いてあったら、同位角・錯角が等しい → 相似 → 辺が同じ比、という連鎖が一気に発動する。逆に、比が等しいことから「じゃあこの2本は平行だ」と言える場合もある。平行と比は、行き来できるセットで覚えておこう。
平行線と比を土台に、この単元では2つの有名な性質を学ぶ。1つは「中点連結定理」。三角形の2辺の中点を結ぶと、その線は底辺と平行で、長さはちょうど半分になる。もう1つは「内角の二等分線と比」。頂点の角を二等分する線は、向かいの辺を、となりの2辺の比と同じ比に分ける。
どちらも図形の中に「比」を見つける道具で、面積の問題や、複雑な図形の長さを求める問題で大活躍する。「平行を見たら比」「中点を見たら半分と平行」。この反射を作るのがこの単元のゴールだよ。
「同じ比で切る」性質は、直接ものさしを当てられない長さを求めるときに効く。地図の縮尺、影から高さを出す、模型と実物の対応。大きさは違うけれど形が同じ、という場面はぜんぶ比の話だよ。平行線と線分の比は、その「比の計算」を図形の中でスムーズに進めるための基本道具になる。
この先、台形や三角形の面積を比で分ける問題、座標平面で内分点・外分点を求める計算、発展のチェバ・メネラウスの定理へとつながっていく。どれも「比をどこにどう移すか」がカギ。ここで比の扱いに慣れておくと、複雑な図形問題が「比の連立」としてスッキリ見えてくるよ。
比を書くとき、上どうし・下どうしの対応がずれると答えが合わない。「小さい三角形の辺 : 大きい三角形の辺」でそろえたら、もう片方も同じ順番で書く。図の中で「どの辺とどの辺が対応しているか」を、同じ色でなぞるつもりで確かめてから比を立てよう。 と書いたのに次は 、のような裏返しが起きやすいから要注意。
中点連結定理は、2辺の「中点どうし」を結んだときにだけ成り立つ。片方が中点でなかったら「半分」も「平行」も言えない。図で M・N が本当に中点(等しい印がついているか)を確かめてから使おう。逆に、平行で長さが半分の線が見えたら「これは中点連結かも」と気づけると、証明の道すじが一気に見えてくるよ。
角の二等分線の性質は、「二等分した角のとなりにある2辺の比」が、そのまま「向かいの辺(対辺)の分けられ方」に移る、というもの。どの辺の比が、どこの分割に対応するのかを混同しやすい。二等分される角をはさむ2辺 → 対辺の2つの部分、という「移り先」を図で結びつけてから式を立てると、取りちがえが減るよ。
そして仕上げのコツは、求めた比を必ず「長さ」に戻すこと。「」まで出して満足してしまうと、実際の長さを聞かれている問題では答えにならない。全体の長さが分かっているなら、比を使って 倍・ 倍のように具体的な数へ直す。比はあくまで途中経過で、最後は問われているもの(長さ・面積)に着地させる。この一手を忘れないようにしよう。