定理辞典

交わる $2$ 直線がつくる、向かい合った角(対頂角)はいつも等しい。

平行な $2$ 直線に $1$ 本の直線が交わると、同位角は等しく、錯角も等しい。逆も成り立つ。

どんな三角形でも、$3$ つの内角を足すと必ず $180^\circ$ になる。

$n$ 角形の内角の和は $180^\circ\times(n-2)$。対角線で三角形に分ければ数えられる。

3つのうちどれか1つがそろえば、2つの三角形はぴったり重なる。

$2$ 辺が等しい二等辺三角形は、底辺の両端の角(底角)が等しい。

四角形が次のどれか1つを満たせば、平行四辺形になる。

形が同じ(大きさは違ってよい)三角形だと言える3つの決め手。

三角形の2辺の中点を結ぶと、残りの辺に平行で長さはその半分。

内角の二等分線は、対辺をとなりの2辺の比に分ける。

三角形の1辺に平行な直線は、残りの2辺を同じ比で切る。

おうぎ形は円の一部。中心角の割合 $\dfrac{\theta}{360}$ だけ、円周と面積を切り取る。弧 $\ell=2\pi r\cdot\dfrac{\theta}{360}$、面積 $S=\pi r^2\cdot\dfrac{\theta}{360}=\dfrac12\ell r$。

同じ弧に立つ円周角はみな等しく、中心角のちょうど半分。

直径を見込む円周角は、どこから見てもいつも $90^\circ$。

直角三角形では、斜辺の2乗が残り2辺の2乗の和に等しい。

3辺が $a^2+b^2=c^2$ をみたせば、その三角形は直角三角形。

中線の長さは、三角形の3辺の長さだけで書ける。

$3$ 辺の垂直二等分線は $1$ 点で交わり、その点から $3$ 頂点までの距離は等しい。

$3$ つの角の二等分線は $1$ 点で交わり、その点から $3$ 辺までの距離は等しい。

$3$ 本の中線は $1$ 点で交わり、その点は各中線を頂点側から $2:1$ に分ける。

各頂点から対辺(またはその延長)へ下ろした $3$ 本の垂線は、$1$ 点で交わる。

$1$ 点に集まる $3$ 本の線(チェバ線)がつくる比の積は $1$。

三角形を横切る $1$ 本の直線がつくる比の積は $1$。

点を通る2直線が円と交わるとき、交点までの長さの積は等しい。

接線と弦の作る角は、その弦に対する円周角に等しい。

円に内接する四角形は、向かい合う内角の和が $180^\circ$。

円外の $1$ 点から引いた $2$ 本の接線の長さは等しく、長さは $\sqrt{OP^2-r^2}$ で出る。

円に内接する四角形では、対角線の積=向かい合う $2$ 組の辺の積の和。

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$、$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$、$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$。単位円の直角三角形からまとめて出る。

辺とその向かいの角の sin の比は一定で、外接円の直径 $2R$ に等しい。

三平方の定理を一般の三角形へ広げた式。$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

$2$ 定点 $A,B$ からの距離の比 $PA:PB$ が一定($\ne1:1$)の点 $P$ は、円をえがく。

中心 $(a,b)$・半径 $r$ の円は $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。これは三平方の定理そのもの。

点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$。最短は垂線。

焦点 $F$ と準線 $\ell$ から距離が等しい点の軌跡が放物線。焦点 $(0,p)$・準線 $y=-p$ なら $y=\tfrac{1}{4p}x^2$。

$2$ 定点(焦点)からの距離の和が一定なら楕円、差が一定なら双曲線。和・差・等しい(放物線)で二次曲線がそろう。

$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2$。$\vec a\cdot\vec b=0\iff$ 垂直。

基準点 $O$ を決めると各点は位置ベクトルで表せる。$AP:PB=m:n$ の内分点は $\vec{OP}=\dfrac{n\vec a+m\vec b}{m+n}$。係数の和が $1$ なら直線 $AB$ 上(共線)。

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$。$n$ 乗すると偏角は $n$ 倍になる。

複素数を掛けると、偏角は足し算・絶対値は掛け算になる($z$ を回して拡大する)。

$z=a+bi$ を点 $(a,b)$ で表すと、絶対値 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ は原点からの距離、偏角は実軸からの角。共役 $\bar z=a-bi$ は実軸対称で $z\bar z=|z|^2$。

穴のない多面体では、頂点の数 − 辺の数 + 面の数 はいつも 2。

半径 $r$ の球は表面積 $S=4\pi r^2$(半径の円 $4$ つ分)、体積 $V=\dfrac43\pi r^3$。

空間ベクトル $\vec{a}=(x,y,z)$ の大きさは $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。

空間の内積は成分どうしの積の和 $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。$0$ なら垂直。

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ をはじめとする展開の公式。一辺 $a+b$ の正方形を $4$ つのタイルに切ると、$ab$ が $2$ 枚あることが目で見える。

$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。バラバラのタイルを長方形に組み直すと、たて・横の因数が見える。展開の逆向き。

$ax^2+bx+c=0$ の2解 $\alpha,\beta$ は、$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$、$\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$。

同じ試行をくり返すと、相対度数(起きた割合)は試行回数を増やすほど理論上の確率に近づく。「確率=長い目で見た相対度数」を支える法則。

判別式 $D=b^2-4ac$ の符号で、実数解が2個・1個・0個かが計算せずにわかる。

正の数 $a,b$ では $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$。等号は $a=b$ のときだけ。

$y=a^x$ と $y=\log_a x$ は逆関数。グラフは直線 $y=x$ に関して対称(鏡像)。

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha)$。$2$ つの波が $1$ つにまとまる。

初項 $a_1$・末項 $a_n$・項数 $n$ の等差数列の和は $S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2}$。

初項 $a$・公比 $r\,(\neq1)$・項数 $n$ の等比数列の和は $S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$。

「$n=1$ で成り立つ」と「$n=k$ で成り立つなら $n=k+1$ でも成り立つ」の $2$ つを示せば、すべての自然数 $n$ で成り立つ、といえる証明法。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ など、よく出る和を一発で求める公式。

「前の項から次の項を作る規則」が漸化式。$a_{n+1}=pa_n+q$ 型は特性方程式 $\alpha=p\alpha+q$ の解 $\alpha$ を引くと等比数列に化け、一般項 $a_n=(a_1-\alpha)p^{\,n-1}+\alpha$ が出る。

タイルを形に並べた数。三角数 $T_n=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$、四角数 $n^2$。四角数の階差は奇数 $2n-1$ で、$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$。

$a_n\le c_n\le b_n$ で、両側 $a_n,b_n$ が同じ値 $\alpha$ に収束するなら、間にはさまれた $c_n$ も $\alpha$ に収束する。直接求めにくい極限を「上下から挟んで」決める道具。

$2$ 点を結ぶ割線の傾き(平均変化率)を、$2$ 点を限りなく近づけた極限が、その点での接線の傾き=微分係数 $f'(a)$。各点の微分係数を $x$ の関数にしたものが導関数 $f'(x)$ で、$(x^n)'=nx^{\,n-1}$。

接線の傾き=導関数 $f'(x)$ の符号がグラフの上り下りそのもの。$f'(x)>0$ で増加、$f'(x)<0$ で減少、符号が変わる境目($f'(x)=0$)が山(極大)・谷(極小)=極値。

曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲む面積を、細い長方形(短冊)の和で近似し、短冊を限りなく細くした極限が定積分 $\int_a^b f(x)\,dx$。和を積分に直す道具が区分求積法。

曲線 $y=f(x)$ を $x$ 軸まわりに回した立体の体積は、断面(半径 $f(x)$ の円)の面積 $\pi\{f(x)\}^2$ を積み上げた $V=\pi\displaystyle\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx$。面積の区分求積を、立体に拡張したもの。

分散は「偏差の2乗の平均」だが、$V=\overline{x^2}-\bar{x}^2$(2乗の平均から平均の2乗を引く)でも出せる。

$2$ 種類のデータが直線的にどれだけそろうかを $1$ 数で表す指標。共分散を両方の標準偏差で割った $r=\dfrac{s_{xy}}{s_x\,s_y}$ で、いつも $-1\le r\le1$。

$(a+b)^n$ を展開すると、$a^{n-k}b^k$ の項の係数は組合せ $\,{}_n\mathrm{C}_k$ になる。

異なる $n$ 個から $r$ 個を取って並べる順列は ${}_n\mathrm{P}_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}$、順番を区別せず選ぶ組合せは ${}_n\mathrm{C}_r=\dfrac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$。

$B$ が起きた条件のもとで $A$ の確率は $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$。変形すると乗法定理。

$1$ 回の成功確率が $p$ の試行を独立に $n$ 回くり返すとき、ちょうど $k$ 回成功する確率は $P(X=k)={}_n\mathrm{C}_k\,p^{k}(1-p)^{n-k}$。

確率変数 $X$ がとる値 $x_i$ とその確率 $p_i$ から、$E(X)=\sum x_i\,p_i$。とりうる値を確率で重みづけした平均で、分布の「つり合いの点(重心)」だよ。

平均 $\mu$・標準偏差 $\sigma$ の正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ は $\mu$ を中心に左右対称な釣鐘形。$\mu\pm\sigma$ に約 $68\%$、$\mu\pm2\sigma$ に約 $95\%$ が入る。

「いま各状態にいる確率 $\times$ そこから移る確率」を全経路たし上げて、次の時刻の確率を作る漸化式。$p_{n+1}=pp_n+q$ 型に整えれば、数列の漸化式と同じように一般項や収束先(定常確率)が求まる。

$a=bq+r$ のとき $\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$。割り算をくり返して最大公約数を求める。

$ax+by=c$ の整数解は、$1$ つ見つかれば $x$ を $\dfrac{b}{g}$ ずつ・$y$ を $\dfrac{a}{g}$ ずつずらして全部書ける($g=\gcd(a,b)$)。直線の上に等間隔に並ぶ格子点だよ。

$2$ つの整数を $m$ でわった余りが等しいとき「$m$ を法として合同」($a\equiv b\pmod m$)。これは $a-b$ が $m$ の倍数なのと同じで、余りは法 $m$ ごとにくり返す。