幾何編2
円の上のどこから同じ弧を見ても、その角(円周角)はいつも同じ大きさになる。しかも中心から見た角(中心角)のちょうど半分。円という単元は、この「どこから見ても同じ」という不思議な性質を武器にしていくよ。
この単元の中心になるのが「円周角の定理」。1つの弧に対して、円周の上の点から見込む角(円周角)は、見る位置をどこに動かしても変わらない。そして、円の中心から同じ弧を見込む角(中心角)の、ちょうど半分になる。「同じ弧 → 同じ角」「中心角 → その半分」の2つがこの単元の合言葉だよ。
とくに大事なのが、弧が半円(直径)のとき。直径を見込む円周角は、中心角 の半分だから、いつでも 。これを「直径に対する円周角は直角」(タレスの定理)と呼ぶ。円の中に直角を作り出せる、便利な性質だよ。三角定規を円の中で回してみると、直角の頂点がいつも円周の上をなぞる。そんなイメージを持っておくと忘れないよ。
円周角がいつも中心角の半分になる理由は、半径を補助線に使うと見えてくる。円の中心と円周角の頂点を結ぶと、半径が2本できて、そこに二等辺三角形が現れる。二等辺三角形の底角が等しいことと「外角は離れた2つの内角の和」を組み合わせると、中心角がちょうど円周角の2倍になることが導ける。
だから「見る位置を変えても円周角が変わらない」のは偶然じゃない。どの位置から見ても、同じ中心角の半分になるから、みんな等しくなるんだ。二等辺三角形や外角の性質という「前に学んだ道具」が、ここで効いてくるのがおもしろいところだよ。
円周角の定理は、円がからむ角度の問題を一気に解ける「変換器」になる。バラバラの位置にある角も「同じ弧を見ているなら等しい」と分かれば、そろえて計算できるからね。
「直径に対する円周角は直角」は、道具としても便利。たとえば、ある点から円がどこまで見えるか(視野)を考えるときや、直角を作りたいときに、円を1つ描くだけで直角が手に入る。作図やコンパスを使う問題でもよく登場するよ。
この先は、接線と弦のつくる角(接弦定理)や、2本の直線と円の交点が作る積の関係(方べきの定理)へ進む。三平方や座標平面で円を扱うときの土台にもなる。「円のことは、まず弧と角で考える」。その感覚をここで作っておこう。
円周角が等しいのは、あくまで「同じ弧」を見込んでいるときだけ。図の中に角がたくさんあると、つい「円周上の角はみんな等しい」と思い込んでしまうけど、それは間違い。まず、その角がどの弧をはさんでいるのかを指でなぞって確かめよう。違う弧を見ている角どうしは、等しいとはかぎらないよ。
「中心角 = 円周角 」と「円周角 = 中心角 」は同じことだけど、どっちが与えられていてどっちを求めるのかで、 をかけるか で割るかが変わる。図を見て「中心(点 O)から出ている角か、円周上の点から出ている角か」を先に見分けてから式を立てよう。中心角のほうがいつも大きい、と覚えておくと取りちがえに気づける。
問題の図に直径がひかれていたら、それを見込む円周角は という道具を思い出そう。逆に、円の中に直角が見えたら「その角がはさむ弦は直径では?」と疑ってみる。直径 ↔ 直角のセットは、円と三平方をつなぐ橋になる場面がとても多い。見落とすと解き口を失いやすいポイントだよ。
もう1つ、円周角の定理は「4点が同じ円の上にある(共円)」かどうかを見抜くのにも使える。2つの点から線分を見込む角が等しければ、その4点は1つの円の上に並ぶ。これは定理の「逆」の使い方だよ。円がまだ描かれていない図でも「角が等しいから、この4点は円の上にありそう」と気づけると、一段上の問題が解けるようになる。