代数編1
のグラフはまっすぐな直線。この直線は、たった2つの数、かたむき と切片 で完全に決まるんだ。 が「進む向きと急さ」、 が「 軸を通る高さ」。この2つの意味をつかめば、式を見ただけで直線の姿が浮かぶようになるよ。
一次関数 の は「切片」と呼ばれ、直線が 軸と交わる点の高さを表す。 を入れると になるから、直線は必ず を通る。 なら を、 なら を通る、という具合だね。
を動かすと、直線は形(かたむき)をたもったまま、まるごと上下に平行移動する。前に学んだ比例 は原点を通る直線だったけれど、そこに を足すと、その直線を だけ上下にずらしたものになる。比例は「切片が 0 の一次関数」。つまり一次関数は、比例を上下にずらせるように拡張したものなんだ。
は「傾き」で、 が1増えたときに が増える量を表す。 なら右へ1進むと上へ1、 なら右へ1で上へ2ぶん急に上がる。 がマイナスなら右に行くほど下がる、右下がりの直線になる。 の符号が向き、大きさが急さを決めているんだ。
この傾きは「変化の割合」とも呼ばれ、一次関数ではどこを取っても一定。だからグラフが曲がらずまっすぐになる。速さ(時間あたりに進む距離)や、水そうに一定の割合で水がたまる量など、身のまわりの「一定の割合で変わるもの」は、みんな一次関数で表せるよ。
で傾き、 で高さ。この2つの数を決めれば、どんな直線もぴたりと1本に定まる。逆にグラフから式を読むときは、 軸との交点から を、右に1進んだときの上がりぶんから を読み取ればいい。式↔グラフの行き来が、ここでぐっと自由になるよ。
一次関数は、前に学んだ比例・連立方程式の総仕上げでもある。2直線の交点を求める連立方程式は、じつは2つの一次関数のグラフが出会う点を探すことだった。そしてこの直線の考え方は、次の二次関数(放物線)や、高校の三角関数のグラフへとつながっていく、関数学習の背骨になる単元なんだ。
で、 と のどちらが傾きでどちらが高さか、こんがらがることがある。 にかかっている が傾き(急さ)、単独で足されている が切片(高さ)。迷ったら を入れてみよう。 になって「 軸を通る高さ=」だとすぐ確かめられる。 は を1増やしたときの の増え方、と動きでつかんでおくと取りちがえないよ。
グラフから傾きを読むとき、 の上がりぶんだけを見て の進みぶんを忘れると、値がずれてしまう。傾きは「 の変化 ÷ の変化」。右に2進んで上に4上がる直線なら、傾きは であって 4 ではない。 が1進んだときに直したらいくつ上がるか、と「1あたり」に必ずそろえて読むのがコツだよ。
「グラフから式 を求めよ」で手が止まるのは、 と をいっぺんに求めようとするから。まず 軸との交点を見て を読み、次に直線が右に1進むとどれだけ上下するかで を読む。2つを分けて順に取るのがコツだよ。
軸との交点がグラフからはっきり読めないときは、通る点を2つ拾って計算する手もある。2点の座標がわかれば、 の変化と の変化から傾き が出て、そのあと1点を式に代入すれば も決まる。前に学んだ「通る点を式に代入する」やり方が、ここでもそのまま使えるんだ。