代数編2
のグラフは「放物線」。ボールを投げたときの軌道のような、なめらかなお椀の形。一次関数の直線とちがって曲がるのが特徴だよ。・・ の3つの数が、放物線の開き方・向き・頂点の場所をどう決めるかを、動かしながらつかんでいくんだ。
が2乗で効いてくる関数が二次関数で、グラフはまっすぐな直線ではなく、左右対称のなめらかな曲線=放物線になる。いちばんシンプルな なら、原点を底にしたお椀の形。 がプラスでもマイナスでも2乗すれば同じ値になるから、 軸をはさんで左右がぴたりと対称になるんだ。
放物線のいちばんとがった折り返しの点を「頂点」と呼ぶ。 の頂点は原点 。ここを境に、左側は下り、右側は上り(下に凸のとき)と、増え方の向きが切りかわる。直線の一次関数にはなかった「向きが変わる点」があるのが、二次関数のいちばんの新しさだよ。
の形は、3つの数それぞれが放物線のどこを動かすかがはっきりしている。 は頂点の高さで、動かすと放物線が形そのままで上下に平行移動する。 は頂点の横の位置で、動かすと左右に平行移動する。つまり頂点はちょうど にくる、というわけだね。
残る は、開き方と向きを決める。 を小さくすると開きがゆるく広がり、大きくするとすぼまって細くなる。 がマイナスになると、お椀がひっくり返って上に凸(山の形)になる。 の符号で向き、大きさで開き方。この と、頂点 の3つがそろえば、どんな放物線もぴたりと1つに決まるよ。
前に学んだ展開・因数分解や平方根は、二次関数を読み解く道具になる。 のように展開された形を、平方完成で という頂点の見える形に直すと、頂点 がすぐ読める。式の計算が、そのままグラフの姿を教えてくれるんだ。
そしてこの放物線が 軸(高さ 0 の線)と交わる点を求めると、それは次の二次方程式を解くことそのもの。放物線と直線の交わりも、連立して考える。二次関数は「グラフで見る」と「式で解く」の橋わたしになる単元で、高校の指数・対数関数や数列にもつながっていく、関数の総本山なんだ。
頂点の横位置 は、式では の形で入っているので符号を逆に読みやすい。 の頂点の は 、 なら と見て 。かっこの中を にする が頂点の横位置、と考えると間違えない。 は でかっこが 、だから頂点は 、という筋道でつかもう。
一次関数のクセで、二次関数も「 が1増えると は決まった量だけ増える」と思ってしまうミス。放物線では増え方が一定でなく、頂点の近くはゆるやか、はなれるほど急になる。だから2点を結んだ傾きと、グラフの実際の曲がり方は別物。 のところで「変化の割合そのものが変わる」のが二次関数だ、と押さえておこう。
と は、見た目が違うので別のグラフだと勘ちがいしやすい。でも前者を展開すると後者になり、まったく同じ放物線。頂点の見える形(平方完成した形)と、展開した形は、同じ放物線の2つの書き方にすぎないんだ。
だから問題に応じて、都合のいい形に行き来できるのが強み。頂点や対称の軸を知りたければ平方完成した形、 軸との交点(=二次方程式の解)を知りたければ因数分解できる展開した形が便利。前に学んだ展開・因数分解・平方完成が、ここで「同じ式を別の顔で見る」道具として全部つながってくるよ。