数学A
ふだん使う数字は、 集まると位が1つ上がる 進法。でも「いくつ集まったら位が上がるか」は でなくてもいい。同じ量でも、束の大きさ(底)を変えると位の数字が変わる。それが 進法だよ。同じ 個のブロックを ずつ・ ずつ・ ずつ束ね直して、位取りのしくみを根っこから見直す単元なんだ。
個のブロックを考える。 個ずつ束ねると、 の束が つとばらが 個で「」。同じ 個を 個ずつ束ねれば、 の束が つとばら 個で「」( 進法)。 個ずつなら、 の束と の束とばら 個で「」( 進法)だ。
ブロックの数は 個のまま変わらないのに、束の大きさ(底)を変えると、位に並ぶ数字ががらりと変わる。つまり 進法とは、「いくつ集まったら つ上の位にするか」の約束を取りかえること。位取りのしくみを、 という当たり前から一度引きはがして見直すのが、この単元のねらいだよ。
どの 進法でも、共通のルールは1つ。ばらが底の数だけ集まると、束 本にまとまって つ上の位へ動く。 進法ならばらが 個で つ上へ、 進法ならばらが 個で つ上へ。これが、ふだん筆算でやっている「繰り上がり」の正体なんだ。
だから 進法では、各位に置ける数字は と だけ。 個たまった瞬間に上の位へ繰り上がってしまうからだね。 は「 の束＋ の束＋ばら 」で、。位の と は、その大きさの束が「ある()・ない()」を表している。位取りと繰り上がりが、同じ「束ね直し」の話だと見えてくるよ。
と と が全部同じ量だ、と言われると混乱しやすい。 進法を「まったく別の数」と思うと、位の数字の並びを丸暗記する苦行になってしまう。そうではなく、同じ 個のブロックを、 ずつ・ ずつ・ ずつと束ね直しただけ。量は変わらず、束の大きさが変わったから位の数字が変わっている。「見た目の数字はちがっても、指している量は同じ」と押さえると、進法の変換が「束ね直し」という具体的な操作に見えてくるよ。
進法で を書くとき、 の束(位)が 本のところの を、うっかり飛ばしてしまいがち。でもその は「この大きさの束は 本もない」という、れっきとした情報だ。飛ばしてしまうと、上の位が下にずり落ちて、まったく別の量になってしまう。 の束＝、 の束＝、 の束＝、ばら＝、と各位が「ある・ない」を順に表しているのだから、 の位も必ず書く。位取りは「どの大きさの束が何本あるか」を位置で表す約束なので、空いている位を で埋めることが、正しい量を伝える鍵になるよ。
進法で位ごとの束の大きさを考えるとき、 進法の のような数を丸暗記しようとすると、桁が増えたとたんにあやしくなる。じつは各位の大きさは、いちばん右(ばら)を として、 つ左へ行くごとに底をかけていくだけだ。 進法なら と 倍ずつ、 進法なら と 倍ずつ。「底ぶん集まると つ上の位へ繰り上がる」というルールの裏返しで、 つ上の位は必ず底倍の大きさになる。この仕組みが分かれば、何進法でも、桁がいくつあっても、各位の大きさを自分で組み立てられる。前に学んだ約数・倍数の「かけ算で数を作る」見方が、位取りのしくみの根っこにあるんだ。