確率漸化式のガイド

ロボットが部屋 A と B を毎分行き来する、といった『時間とともに状態が移っていく』問題を考える。今 A にいる確率が分かっているとき、1分後に A にいる確率はいくつか。これを『今の確率』から計算するのが確率漸化式だよ。1歩先の確率を、今の確率だけを使って求めるのがポイントなんだ。

たとえば A にいると、とどまるのが $\frac{2}{3}$・B へ移るのが $\frac{1}{3}$、というふうに移り方の確率が決まっているとする。すると次に A にいる確率は『(今 A)$\times\frac{2}{3}$ +(今 B)$\times\frac{1}{3}$』。今の確率をそれぞれの移り方でふり分けて足し合わせる、という形になるんだ。

この『前の項から次の項を作る』形は、数列で学んだ漸化式とまったく同じ構造だよ。$n$ 分後に A にいる確率を $a_n$ とすれば、$a_{n+1}$ を $a_n$ で表す式が立つ。つまり確率漸化式は『確率を項とする数列』なんだ。だから数列で身につけた『漸化式を解いて一般項を求める』道具が、そのまま確率の問題に効いてくる。

確率(数学A)と数列(数学B)という別々に学んだ2つが、ここで1つに合流する。融合問題として入試でもよく出るのは、この『2つの単元をまたぐ』おもしろさがあるからなんだ。

確率漸化式のもうひとつの見どころが『ずっとくり返すとどうなるか』。ロボットの例では、最初は A に $100\%$ いても、行き来をくり返すうちに A と B の差はだんだん縮まり、やがて半々($0.5$)に近づいていく。この落ち着く先が『収束』だよ。

はじめの状態(最初どちらにいたか)のかたよりが、くり返しでならされていく、というのが直感的なイメージ。数列の極限(だんだん近づく先)の考え方ともつながっていて、『長い目で見たときの確率』を読み取れるようになる。確率の分野を、時間の流れのなかで捉え直す単元なんだ。

こうした『状態が確率で移り変わり、やがて落ち着く』見方は、天気の移り変わりや、ゲームの状態遷移など、身のまわりのいろいろな変化にあてはまる。1歩先を今から作り、それをくり返して長い先を見通す、という考え方は、この単元を越えて広く役立つ道具になるよ。