発展(数学A)
三角形には「中心」がいくつもある。どんな線を引いて、その交点をどこに取るかで、外心・内心・重心・垂心と、違う顔の中心が現れる。この単元では、三角形にひそむこの4つ(と傍心を合わせて五心)の性質を見ていくよ。
「三角形の中心」と言われると1つに決まりそうだけど、実はどんな線を引くかで別々の点になる。3辺の垂直二等分線を引けば外心、3つの内角の二等分線を引けば内心、頂点と対辺の中点を結ぶ中線を引けば重心、頂点から対辺におろした垂線を引けば垂心。同じ三角形の中に、性格の違う中心がいくつも隠れているんだ。
おもしろいのは、そのどれもが「3本の線がぴったり1点で交わる」ということ。2本の直線ならどこかで交わるのは当たり前だけど、3本目までが同じ点を通るのは当たり前じゃない。この「3本が1点に集まる(共点)」という事実こそ、五心という単元の背骨だよ。
外心と内心は、「距離が等しい点の集まり」で考えるとすっきりする。線分の垂直二等分線は「その2つの端から等しい距離にある点」が並んだ線。だから3辺の垂直二等分線が交わる外心は、3頂点のどれからも等しい距離にある。その距離を半径にすれば、3頂点を通る円(外接円)がひける。
内心も同じ発想。角の二等分線は「その角をつくる2辺から等しい距離にある点」の線。だから3つの角の二等分線が交わる内心は、3辺のどれからも等しい距離にあり、そこを中心に3辺へぴったり接する円(内接円)がひける。前に学んだ作図(垂直二等分線・角の二等分線)が、そのまま五心の理由になっているんだ。
重心は少し性格が違って、中線を頂点から に内分する点でぴたりと止まる。この は、中点を結んだ線(中点連結)や相似の考え方から導ける、覚えておくと得な比だよ。
外心と内心は、この先の「図形の計量」で主役になる。三角形に外接する円の半径や、内接する円の半径を求める問題は定番で、そこでは外心・内心の性質がそのまま道具になる。とくに外接円は円周角の定理と、内接円は面積の式と結びついていく。
垂心・重心も、座標平面やベクトルで三角形を扱うときの基準点としてよく登場する。そして、外心・重心・垂心が実は一直線に並ぶ(オイラー線)という驚きの事実もこの先に待っている。ここで4つの中心を「作り方」から区別できるようにしておくと、その先がぐっと楽になるよ。
五心でいちばん多いつまずきは、名前と作り方がごちゃ混ぜになること。外心=垂直二等分線、内心=角の二等分線、重心=中線、垂心=垂線、と「引く線」とセットで覚えよう。名前だけ覚えても、問題の図で「今どの線を引いているのか」が分からなければ使えない。図に線を1本ずつ引いて、その交点が何心かを声に出して確かめる練習が効くよ。
内心と重心はいつも三角形の内部にあるけれど、外心と垂心は鈍角三角形だと外側にはみ出す。直角三角形だと、外心はちょうど斜辺の中点(直径に対する円周角が直角、の裏返し)、垂心は直角の頂点そのものに来る。「中心なんだから中にあるはず」という思い込みが落とし穴。三角形の形によって位置が動く2つ(外心・垂心)と、いつも中にいる2つ(内心・重心)を区別しておこう。
重心は中線を に分けるけれど、どっちが でどっちが かをよく取りちがえる。頂点から重心までが 、重心から対辺の中点までが 。つまり頂点側の区間のほうが長い。位置でいうと、重心は頂点よりも対辺の中点のほうに近いんだ(距離が と だからね)。「対辺には頂点が2つあって重いぶん、重心は中点のほうへ引っぱられる」とイメージすると、頂点側が という向きを間違えにくい。比を逆にすると答えがまるごとずれるので、図に と を書き込んでから計算する癖をつけよう。3本の中線が交わる1点で、どの中線も同じ に分かれる。これも五心の気持ちよさの一つだよ。