指数・対数関数のガイド

指数関数 $y=a^x$ は、$x$ が $1$ ふえるごとに $a$ 倍になる関数。$a>1$ なら、はじめはゆっくり、そこから一気に急上昇して、あっという間に天井へ届く。前に学んだ二次関数の放物線よりもっと激しい増え方だよ。

大事な目印は、必ず点 $(0,1)$ を通ること。どんな底 $a$ でも $a^0=1$ だから、$x=0$ のときの高さは $1$ に決まっている。アプリでは底 $a$ をスライダーで変えても、このアンカーの点だけは動かない。$a$ を大きくすると立ち上がりが急になる、という変化を、$(0,1)$ を軸にして見比べられるよ。

対数関数 $y=\log_a x$ は、「$a$ を何乗したら $x$ になるか」という問いへの答えを返す関数。指数が「何乗する→いくつになる」なら、対数はその逆で「いくつになる→何乗した」をたどる。だから指数と対数は逆関数の関係にあるんだ。

対数のグラフは必ず点 $(1,0)$ を通る($a^0=1$ の裏返しで、$\log_a 1=0$)。そして $x>0$ でしか定義されない。$a$ を何乗しても正の数にしかならないから、$0$ や負の数の対数は考えないんだ。指数がぐんぐん立ち上がるのに対して、対数はゆっくり、いつまでも上りつづける。この増え方の非対称さが対数の個性だよ。

指数のグラフを $y=x$ という直線(45度の鏡)で折り返すと、対数のグラフにぴったり重なる。逆関数どうしは、この鏡をはさんで左右対称になる、というのが図で見える一番のポイントだ。指数が通る $(0,1)$ は、鏡で折り返すと対数が通る $(1,0)$ に移る。座標の $x$ と $y$ が入れ替わっているのが分かるね。

アプリでは指数(teal)・対数(coral)・鏡の線 $y=x$(うすい lavender)を同時に見せる。底 $a$ を1本のスライダーで動かすと、指数が急になれば対数はゆるく、と対になって変化する。この鏡うつしの関係をつかんでおくと、指数と対数を別々に暗記せず、片方から片方を思い出せるようになるよ。