代数編1
と 、2つの文字が入った式が2本セットで出てくるのが連立方程式。じつは1本の式は座標平面の1本の直線。だから解は「2本の直線が交わる点」。グラフにすると、答えが目に見える形で現れるよ。
のように文字が2つある式は、これだけでは を1組に決められない。でも「この式を満たす点 」をぜんぶ集めて座標平面にかくと、1本の直線になる。 も も も、みんなこの直線の上にのっているんだ。式は「点の集まり=直線」のことだった、という見方がここでの主役だよ。
連立方程式は、こういう式が2本そろって出てくる。 と の2本なら、それぞれが1本ずつの直線。2本の式を「同時に満たす 」を探すのが、連立方程式を解くということなんだ。
2本の直線をかくと、ナナメに交わる。その交わった点は、1本目の直線の上にも、2本目の直線の上にもある。つまり両方の式を同時に満たす、ただ1つの点だ。 で交わっていれば、 が連立方程式の解だよ。グラフにすれば「解=交点」と一目でわかるのが、この単元のいちばんの発見なんだ。
式の数字を変えると交点も動く。片方の直線を上にずらせば、交わる場所がスーッと移って、解も変わる。逆に2本が平行なら交わらない=解なし、ぴったり重なれば交点は無数=解が無限にある。「交点の様子」と「解の個数」がそのまま対応しているのが見えてくるよ。
実際に解くときは、グラフを描くかわりに式だけで交点を求める。片方の文字を消す「代入法」や「加減法」で、まず1文字の一次方程式にしてしまうのが基本。前に学んだ一次方程式の「両がわに同じことをする」考え方が、そのまま2本の式の連立に効いてくるよ。
連立方程式は、鶴亀算のような文章題を「2つの条件=2本の式」に翻訳して解く強力な道具でもある。そしてこの「解=グラフの交点」という見方は、次の一次関数、さらに二次方程式(放物線と直線・ 軸の交点)へとまっすぐつながっていく。式と交点を結ぶ発想を、ここでしっかり手に入れておこう。
文字が2つあるままでは解けないのに、それを2つとも残そうとして行きづまるのがよくあるつまずき。連立を解く第一歩は「まず1文字を消して、1文字だけの一次方程式にする」こと。 を の に代入すれば となり、 だけの式になる。「2本を1本に減らす」のが合言葉だよ。
が出た時点で解けた気になり、 を求め忘れてしまうミスも多い。連立方程式の解は と の「組」 だから、片方だけでは答えになっていない。 が出たら、どちらかの式にもどして まで求めて、 とセットで答える。グラフの「交点は1つの点」というイメージを持っておくと、座標を両方書くのを忘れにくいよ。
加減法で文字を消すとき、消したい文字の係数がそろっていないのに、そのまま2本を引いてしまうミス。 と なら の係数がそろっているので引けば が消えるけれど、 と のように片方だけずれていると、うまく消えない。まず一方(または両方)を何倍かして、消す文字の係数を同じにそろえるのが先だよ。
係数をそろえたら、足すのか引くのかも符号しだいで変わる。係数が同符号なら引いて消し、異符号なら足して消す。ここでも前に学んだ正負の数の符号の扱いがそのまま効いてくる。あやしいときは、消したい文字が本当に消えたかを一手ごとに確かめながら進めると安全だよ。