数学A
のように、文字が2つあって答えが1つに決まらない方程式が不定方程式だよ。ふつうの方程式と違い、整数の解がとびとびにいくつも並ぶ。式を座標の直線と見て、そのうち格子点(縦横とも整数の点)だけを拾う、という見方でつかむ。前に学んだ互除法や文字式が、ここで解を作る道具になるんだ。
という式は、座標平面では 本の直線を表す。この直線の上には点が無数にあるけれど、そのうち も も整数になる点、つまりマス目の交点(格子点)に乗る点だけが、整数解だ。実数までふくめれば解は直線上に連続してあるのに、整数に限ると点がとびとびに選ばれる。この「直線の上から格子点だけを拾う」のが、不定方程式の見方だよ。
アプリでは、直線(teal)の上に整数解の格子点(coral)が光る。、、 がちょうどマス目の交点に乗っているのが見える。「解が無数にある」と言葉で言われてもピンとこないけれど、直線上に等間隔で点が並ぶ図を見ると、無数の意味が納得できるはずだよ。
並んだ格子点をよく見ると、となりの解へは決まった歩幅で移っている。 なら、 を ふやすと は へる。だから から 、 へと、・ の同じステップでとびとびに並ぶ。この歩幅 と は、じつは式の係数 と から来ている(係数を入れ替えた形)。
つまり、解を つ見つけさえすれば、あとは同じ歩幅でずらして全部の整数解が作れる。この「最初の 解」を見つけるのに、前に学んだ互除法や文字式の変形が役立つ。 つの解と歩幅、この2つで無数の解をひとまとめに表す。それが不定方程式の一般解だよ。
不定方程式でつまずくのは、「解がたくさんある」の「たくさん」の中身があいまいになること。式を直線と見れば、直線上の点は連続して無数にある(実数解)。でも不定方程式で求めたいのは、そのうち も も整数になる格子点だけだ。直線上のどこでもいいわけではなく、マス目の交点に乗る点に限られる。「直線全体」ではなく「直線の上の格子点」を選んでいる、という区別をはっきりさせると、答えがとびとびに並ぶ理由が見えてくるよ。
整数解を並べるときの「 を 、 を 」という歩幅を、その場の当てずっぽうで決めてしまうと、解をひとつ飛ばしたり、直線から外れたりする。この歩幅は、式の係数からきちんと決まっている。 なら、 の係数 と の係数 が入れ替わって、 の歩幅が 、 の歩幅が (向きは逆)。 を ふやして を へらせば、 で式の左辺は変わらず、ちゃんと直線の上にとどまる。「歩幅は係数から来る」と理解しておけば、どんな不定方程式でも 解から残りを正しく作り出せるようになるよ。
一般解は「 つの解＋歩幅」で書けると分かっても、その最初の 解が見つからないと先へ進めない。係数が小さいうちは、 に を代入して整数の が出るまで試せばいい。でも のように係数が大きくなると、あてずっぽうでは見つけにくい。そこで役立つのが、前に学んだ互除法だ。互除法の割り算を逆にたどっていくと、 と を組み合わせて を作る式が得られ、そこから最初の 解を組み立てられる。「解の並べ方(歩幅)は係数から、最初の 解は互除法から」と役割を分けておくと、大きな係数の不定方程式でも手が止まらなくなるよ。なお、係数どうしに より大きい共通の約数があるのに右辺がそれで割り切れないときは、整数解が つも存在しない。解き始める前に、まず解があるかどうかを確かめておくのも大事な一歩だね。