空間図形
穴のない多面体では、頂点の数 − 辺の数 + 面の数 はいつも 2。
へこみのない(凸な)多面体で、頂点の数を 、辺の数を 、面の数を とすると、どんな多面体でも が成り立つよ。たとえば立方体なら 頂点 ・辺 ・面 で 、正四面体なら 、正八面体なら 。形がぜんぜん違っても、この組み合わせだけはいつも 2 になる、というのがこの定理のおもしろさ。まずは凸な(へこみのない)多面体で思い浮かべるとわかりやすいけど、実はへこんだ立体でも穴さえ無ければ成り立つよ(くわしくは下の条件で)。
「穴のあいていない多面体」であることが前提(・・ は 頂点・辺・面 の個数で、 は vertex、 は edge、 は face の頭文字)。球にゴムのように貼りつけられる形(凸多面体など)ならいつでも成り立つ。へこんだ立体でも穴さえ無ければ大丈夫だよ。
を満たすからといって、その個数の多面体が必ず作れるわけではない(逆は素直には成り立たない)。この定理は「作れる多面体なら、その頂点・辺・面の数は必ず を満たす」という向きで使う。面の形と枚数から残りの個数を逆算する、といった使い方が中心だよ。
つまずきやすいのは「穴があると 2 にならない」こと。ドーナツ形(トーラス)のように穴が1つあいた立体だと になる。穴の数が増えるほど値が小さくなるので、この定理は「穴のない多面体」限定だと覚えておこう。数えるときは、辺や頂点の重複・数えもらしにも注意。
言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。
この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。