複素数平面

複素数の絶対値と偏角

$z=a+bi$ を点 $(a,b)$ で表すと、絶対値 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ は原点からの距離、偏角は実軸からの角。共役 $\bar z=a-bi$ は実軸対称で $z\bar z=|z|^2$ 。

主張

複素数 $z=a+bi$ を、横軸に実部 $a$ ・縦軸に虚部 $b$ をとった平面上の点 $(a,b)$ で表すよ(複素数平面)。原点 $O$ から $z$ までの距離が絶対値 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 、実軸の正の向きから測った角が偏角 $\arg z=\theta$ 。この $2$ つを使うと $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$ と極形式で書ける。共役複素数 $\bar z=a-bi$ は $z$ を実軸に関して折り返した点で、 $|\bar z|=|z|$ 、そして $z\bar z=a^2+b^2=|z|^2$ が成り立つ。

|z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\bar z=|z|^2,\qquad z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)

原点から

z

までの距離が絶対値

|z|=\sqrt{a^2+b^2}

、実軸からの角が偏角。実部

a

・虚部

b

を脚とする直角三角形そのものだよ。

成り立つ条件

$a,b$ は実数で $z=a+bi$ 。偏角は $-\pi<\theta\le\pi$ (または $0\le\theta<2\pi$ )のように範囲を決めて $1$ つに定める。 $z=0$ のときは $|z|=0$ で、偏角は定まらない(向きが決められない)。

証明(なぜ成り立つ?)

$z=a+bi$ を点 $(a,b)$ とみて、実部 $a$ ・虚部 $b$ を脚とする直角三角形に三平方の定理を当てる。

1
$z=a+bi$ を点 $(a,b)$ に対応させると、 $a$ が横(実軸方向)、 $b$ が縦(虚軸方向)の移動量。点 $z$ から実軸へ垂線を下ろすと、横 $a$ ・縦 $b$ ・斜辺 $Oz$ の直角三角形ができる。
2
この直角三角形に三平方の定理を使うと $Oz^2=a^2+b^2$ 。 $Oz$ は長さ(原点から $z$ までの距離)だから、その平方根が絶対値 $|z|$ になる。
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
3
偏角 $\theta$ はこの直角三角形の角だから、 $\cos\theta=\dfrac{a}{|z|}$ 、 $\sin\theta=\dfrac{b}{|z|}$ 。よって $a=|z|\cos\theta$ 、 $b=|z|\sin\theta$ で、 $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$ と極形式になる。
4
共役 $\bar z=a-bi$ は実軸に関する鏡像。積 $z\bar z$ を計算すると $i^2=-1$ のおかげで虚部が消え、実部だけが残って絶対値の $2$ 乗になるんだ。
$z\bar z=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2=|z|^2$

逆

絶対値 $r=|z|\ge0$ と偏角 $\theta$ の組(極形式)が決まれば、 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ で $z$ が $1$ つに定まる。逆に直交形 $a+bi$ からは $a=r\cos\theta,\ b=r\sin\theta$ で行き来できるよ。

補足・つまずきポイント

$|z|$ は「大きさ」、偏角は「向き」。和・差は直交形 $a+bi$ が、積・商は極形式が得意で、積では絶対値はかけ算・偏角は足し算になる(ド・モアブルや回転につながる)。共役は $z\bar z=|z|^2$ を使って分母を実数化(わり算)するのに役立つ。 $2$ 点間の距離は $|z_1-z_2|$ でそのまま測れる。 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ は原点と点 $(a,b)$ の距離公式そのものだね。

見て確かめる

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

複素数平面と絶対値・偏角

使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。

|z−i|=|z−1| の軌跡

複素数の絶対値と偏角

📐 主張

✅ 成り立つ条件

📝 証明(なぜ成り立つ?)

🔄 逆

💭 補足・つまずきポイント

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💡 使いどころ

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