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図形と方程式

放物線の定義(焦点と準線)

焦点 FF と準線 ℓ\ell から距離が等しい点の軌跡が放物線。焦点 (0,p)(0,p)・準線 y=−py=-p なら y=14px2y=\tfrac{1}{4p}x^2。

主張

11 つの定点 FF(焦点)と、11 本の定直線 ℓ\ell(準線)を用意するよ。FF までの距離 PFPF と ℓ\ell までの距離 PDPD がちょうど等しくなる(PF=PDPF=PD)点 PP を集めると、その軌跡が放物線だ。焦点を (0,p)(0,p)、準線を y=−py=-p にとると、放物線の方程式はなじみの y=14px2y=\dfrac{1}{4p}x^2 になる。楕円(和が一定)・双曲線(差が一定)と並ぶ二次曲線の仲間で、放物線は「等しい」を担う 11 本なんだ。

PF=PD ⟺ y=14px2(焦点 (0,p), 準線 y=−p)PF=PD\ \Longleftrightarrow\ y=\dfrac{1}{4p}x^2\quad(\text{焦点}\,(0,p),\ \text{準線}\,y=-p)
ℓFP
焦点 FF までの距離と準線 ℓ\ell までの距離(同じ色)が等しい点 PP を集めると、放物線になる。

成り立つ条件

焦点 FF は準線 ℓ\ell 上にないこと(FF が ℓ\ell にのっていると軌跡がつぶれてしまう)。FF と ℓ\ell の距離 2p2p が放物線の開き方を決め、FF が ℓ\ell から離れる(=pp が大きい)ほどゆるく開き、近づくほど鋭くとがる。

証明(なぜ成り立つ?)

焦点を (0,p)(0,p)・準線を y=−py=-p と対称に置き、PF=PDPF=PD を座標で書いて両辺を 22 乗して整理する。

  1. 1

    焦点を F(0,p)F(0,p)、準線を ℓ:y=−p\ell:y=-p とおく(原点をはさんで対称に配置)。点 P(x,y)P(x,y) から ℓ\ell への距離 PDPD は、ℓ\ell が水平線だから縦の差だけで PD=∣y+p∣PD=|y+p| だね。

  2. 2

    FF までの距離は三平方(距離公式)で PF=x2+(y−p)2PF=\sqrt{x^2+(y-p)^2}。定義の条件は PF=PDPF=PD だから、次の式を立てる。

    x2+(y−p)2=∣y+p∣\sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|
  3. 3

    両辺を 22 乗して、左辺と右辺の (y±p)2(y\pm p)^2 を展開すると、y2y^2 と p2p^2 がきれいに消えてシンプルな形が残る。

    x2+(y−p)2=(y+p)2 ⇒ x2=4pyx^2+(y-p)^2=(y+p)^2\ \Rightarrow\ x^2=4py
  4. 4

    yy について解くと、下に凸の放物線の式になる。「焦点と準線から等距離」という条件だけから、見なれた y=ax2y=ax^2 型が出てきたね。

    y=14px2y=\dfrac{1}{4p}x^2

逆

放物線上の点はどれも PF=PDPF=PD をぴったり満たす(軌跡=ちょうどその放物線で過不足なし)。逆に PF=PDPF=PD を満たす点は必ずこの放物線の上にあるよ。だから「等距離」という条件と放物線は 11 対 11 で対応する。

補足・つまずきポイント

焦点と準線が等距離=放物線、22 焦点からの距離の和が一定=楕円、差が一定=双曲線、と 33 兄弟を距離の条件でそろえると見通しがいい(離心率 e=1e=1 がちょうど放物線)。「放物面に平行に入った光が焦点に集まる」というパラボラアンテナの反射の性質も、この焦点と準線の定義からきれいに出てくる。

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