二次方程式の判別式(定理辞典)

主張

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ ( $a\ne0$ )の判別式を $D=b^2-4ac$ と決めると、 $D$ の符号だけで実数解の個数がわかるよ。 $D>0$ なら異なる2つの実数解、 $D=0$ ならぴったり重なった重解(1個)、 $D<0$ なら実数解なし。たとえば $x^2+2x-3=0$ は $D=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=16>0$ で2解( $x=-3,1$ )。放物線 $y=ax^2+bx+c$ と $x$ 軸の交わる点の数が、そのまま実数解の数だよ。

D = b^2 - 4ac

放物線と

x

軸の交点の数が実数解の数。交わり方は判別式

D

の符号で決まる。

成り立つ条件

$a\ne0$ (二次方程式であること)で、係数 $a,b,c$ は実数。数えるのは「実数解」の個数で、 $D<0$ のときは実数解が0個(高校ではこのあと虚数解2個として扱う)。 $a$ の符号は個数には効かない。効くのは $D$ の符号だけ。

証明(なぜ成り立つ?)

平方完成して $\Big(x+\dfrac{b}{2a}\Big)^2=\dfrac{D}{4a^2}$ の形にする。右辺の符号( $=D$ の符号)で、実数の $x$ が何個あるかが決まる。

1
$ax^2+bx+c=0$ を平方完成する。 $x^2$ の係数 $a$ でくくって、 $x$ の1次の項を2乗のかたまりにそろえると、
$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a}$
2
両辺を $a$ で割ると、右辺の分母は $4a^2$ 。 $a\ne0$ だから $4a^2>0$ (つねに正)。分子は $b^2-4ac=D$ だね。
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{D}{4a^2}$
3
左辺は2乗だから 0 以上。だから右辺 $\dfrac{D}{4a^2}$ の符号(= $D$ の符号、 $4a^2$ は正なので)で、実数の $x$ が取れるかが決まる。 $D>0$ なら右辺は正だから両辺の平方根がとれて(複号 $\pm$ が $a$ の符号も引き受ける)、
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt D}{2a}\ \Rightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$
4
符号で2つに分かれて異なる2解。 $D=0$ なら右辺は 0 で $x+\dfrac{b}{2a}=0$ の1個だけ(重解)。 $D<0$ なら「2乗=負」は実数では起こらないので実数解なし。だから $D$ の符号が個数を決めるんだ。
$D=0$ のとき放物線は $x$ 軸にちょうど接する(重解=解1個)。これが「異なる2解( $D>0$ )」と「実数解なし( $D<0$ )」の境目だよ。

逆

逆向きにも読める。実数解が2個なら $D>0$ 、ちょうど1個(重解)なら $D=0$ 、0個なら $D<0$ 、と解の個数から $D$ の符号が決まる。だから「ちょうど接する( $D=0$ )」「2点で交わる( $D>0$ )」といった条件を、 $D$ の式に置きかえて解けるんだ。

補足・つまずきポイント

見るのは $D$ の符号だけで、 $D$ の値そのもの(16でも100でも)は個数に関係ない。符号をまちがえないよう $-4ac$ の符号に注意( $ac$ が負なら $-4ac$ は正)。「重解」は解が1個だけど、もとは2つの解が重なったもの(重複度2)だと意識しておくと、解と係数の関係ともつながるよ。

見て確かめる

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。

二次方程式の判別式

📐 主張

✅ 成り立つ条件

📝 証明(なぜ成り立つ?)

🔄 逆

💭 補足・つまずきポイント

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💡 使いどころ

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