証明: 円周角は中心角の半分

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. 1

   円周上の点 $P$ からできる円周角 $\angle APB$(赤)と、中心 $O$ からできる中心角 $\angle AOB$(緑)。この2つが「円周角 = 中心角の半分」になることを示したいよ。

2. 2

   $P$ と中心 $O$ を通る直線を引いて、反対側で円と交わる点を $D$ とするよ($PD$ は直径)。この補助線が円周角も中心角も、ちょうど半分ずつに分けてくれる。

3. 3

   $OP$・$OA$・$OB$ はどれも円の半径だから、みな等しい(同じ色)。だから $\triangle OPA$ と $\triangle OPB$ はどちらも二等辺三角形。二等辺の底角は等しいね。

4. 4

   三角形の外角は、隣り合わない2つの内角の和。$\triangle OPA$ で $D$ 側の外角に注目すると、底角2つ($\angle OPA=\angle OAP$)の和だから、$\angle AOD = 2\,\angle OPA$ になるよ。

5. 5

   まったく同じ理由で、$\triangle OPB$ の外角からは $\angle DOB = 2\,\angle OPB$。反対側も、円周角の半分が中心角の半分の2倍、という同じ形になっているね。

6. 6

   中心角 $\angle AOB$ は $\angle AOD$ と $\angle DOB$ を合わせたもの。円周角 $\angle APB$ も $\angle OPA$ と $\angle OPB$ を合わせたもの。だから中心角は円周角のちょうど2倍、$\angle AOB = 2\,\angle APB$ だね。

7. 7

   両辺を2で割れば、円周角は中心角の半分 $\angle APB=\tfrac12\,\angle AOB$。中心が辺の上や外にあるときも同じように示せる。$P$ をどこにとっても円周角は一定。これが円周角の定理だよ!