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内心 — 3辺に接する円の中心

三角形の3つの角の二等分線を引くと、線たちはどうなるだろう。3辺すべてにぴったり接する円の中心を、いっしょに探してみよう。

今度は、三角形の内側にぴったり収まる円、3つの辺すべてに接する円の中心を探してみよう。

これだけ思い出そう

「外心」で、3辺の垂直二等分線が1点に集まり、そこが3頂点から等距離だったね。今回は同じ「等距離」の考え方を、辺までの距離に置きかえて内心をさぐるよ。

あやしいと思ったら、先にここへ戻ろう

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今度は、三角形の内側にぴったり収まる円、3つの辺すべてに接する円の中心を探してみよう。
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$\angle A$ を半分に分ける線(角の二等分線)を引くよ。この線上の点は、2辺 $AB$ と $AC$ から等しい距離にあるんだ。
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$\angle B$ の二等分線も引いて、交点を $I$ とするね。
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$\angle C$ の二等分線も…やっぱり同じ点 $I$ を通った!考え方は外心と同じで、「 $AB$ ・ $AC$ から等距離」かつ「 $BC$ ・ $BA$ から等距離」なら、結局3辺すべてから等距離だね。
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実際に I から3辺への距離(垂線の長さ)を測ると、ぜんぶ等しくなってるよ。
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I を中心にこの距離を半径とする円は、3辺すべてにぴったり接する。これが「内接円」と、その中心「内心」だよ。
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ここで面積との関係を1つ。I から3つの頂点に線を引くと、三角形が3つに分かれるよね。どの三角形も、高さはちょうど内接円の半径 $r$ (同じ色)なんだ。
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3つの面積を合計すると $S = \frac{1}{2} \times r \times (\text{周})$ 。周の半分を $s$ とおけば $S = r \cdot s$ 。面積から内接円の半径 $r$ を逆算できる、入試で便利な式だよ。