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三角比

三角比の相互関係

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1、tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}、1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}。単位円の直角三角形からまとめて出る。

主張

半径 11 の単位円上の点 PP の座標は (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) だよ。PP から xx 軸へ垂線を下ろすと、横 cos⁡θ\cos\theta・縦 sin⁡θ\sin\theta・斜辺 11 の直角三角形ができる。これに三平方の定理を当てると sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1。また tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}(cos⁡θ≠0\cos\theta\ne0)で、この 22 つから 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta} も出てくる。sin⁡,cos⁡,tan⁡\sin,\cos,\tan はバラバラの値ではなく、11 つの直角三角形でつながっているんだ。

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\qquad \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\qquad 1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}
θ1cos θsin θ
単位円の半径 OP=1OP=1 が斜辺、縦が sin⁡θ\sin\theta・横が cos⁡θ\cos\theta。三平方の定理がそのまま sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 になる。

成り立つ条件

θ\theta はどんな角でもよい。ただし tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} と 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta} は cos⁡θ≠0\cos\theta\ne0(つまり θ≠90∘,270∘,…\theta\ne90^\circ,270^\circ,\dots)のとき。鈍角や負の角でも、単位円の座標で sin⁡θ,cos⁡θ\sin\theta,\cos\theta を符号込みに定めれば同じ式が成り立つよ。

証明(なぜ成り立つ?)

単位円上の点と xx 軸への垂線で直角三角形をつくり、三平方の定理を当てる。tan⁡\tan は定義(縦÷横)から導く。

  1. 1

    半径 11 の単位円上に点 PP をとり、中心 OO と結ぶと OP=1OP=1。xx 軸の正の向きから OPOP までの角を θ\theta とする。

  2. 2

    PP から xx 軸へ垂線を下ろすと、横の長さが cos⁡θ\cos\theta、縦の長さが sin⁡θ\sin\theta、斜辺 OP=1OP=1 の直角三角形ができる(これが単位円での sin⁡,cos⁡\sin,\cos の定義そのもの)。

  3. 3

    この直角三角形に三平方の定理を当てると、(縦)2+(横)2=(斜辺)2(\text{縦})^2+(\text{横})^2=(\text{斜辺})^2。斜辺はちょうど 11 だから、たてとよこの 22 乗の和が 11 になる。

    sin⁡2θ+cos⁡2θ=12=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1^2=1
  4. 4

    tan⁡θ\tan\theta は定義から縦÷横、つまり sin⁡θcos⁡θ\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}。さらに sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 の両辺を cos⁡2θ\cos^2\theta でわると、tan⁡θ\tan\theta と cos⁡θ\cos\theta を結ぶもう 11 つの関係も出てくるよ。

    sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ ⟹ tan⁡2θ+1=1cos⁡2θ\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+\dfrac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\ \Longrightarrow\ \tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}

逆

33 つの値 sin⁡θ,cos⁡θ,tan⁡θ\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta は独立ではなく、11 つの値とそれがどの象限の角かが分かれば残りも決まる。例えば cos⁡θ\cos\theta と象限が分かれば sin⁡θ=±1−cos⁡2θ\sin\theta=\pm\sqrt{1-\cos^2\theta}(符号は象限で決める)、tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} と順にたどれる。

補足・つまずきポイント

sin⁡2θ\sin^2\theta は (sin⁡θ)2(\sin\theta)^2 の略記。相互関係の本体は「sin⁡cos⁡tan⁡\sin\cos\tan が単位円の同じ直角三角形でつながっている」こと。1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta} は sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 の両辺を cos⁡2θ\cos^2\theta でわると出る(別に覚えなくてよい)。三角「比」でも三角「関数」でも、この相互関係はそのまま使えるよ。

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使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。

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