平行線と線分の比
三角形の1辺に平行な直線は、残りの2辺を同じ比で切る。
の辺 に平行な直線が、辺 を点 、辺 を点 で切るとき、・ は 辺を「同じ比」で分けるよ。。さらに頂点 から測れば も成り立つ。平行な1本の線が、 つの辺の比をそっくりそろえてくれる。これがいちばんの値打ちだね。
であること(平行が大前提)。 は辺 上、 は辺 上にとる。平行でないと比はそろわないので、まず「どの辺と平行か」を必ず確かめよう。
と が相似であることを示し、相似比から 辺の比がそろうことを導く。
だから、直線 を横切る と の同位角は等しく 。角 は つの三角形に共通。 角が等しいから、この つは相似だね。
相似な三角形では対応する辺の比が等しいから、。まず「頂点 から測った比」がそろったね。
、 だから、、。 なので右辺どうしも等しく、左辺どうしも等しい。
逆も成り立つ。 で、 上の点 と 上の点 が を満たすなら、 になる。「比がそろっている → 平行」と読めるので、平行であることを示す道具にもなるよ。
比の書き方は 通り( / / もそろう)。問題に合うものを選ぼう。中点連結定理は、この比がちょうど (中点)になった特別な場合だと思うと、 つが地続きに見えてくる。「同じ比で切る」のは平行が効いているからで、平行でない線は比をそろえない点に注意。
言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。
この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。