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内角の二等分線と比

三角形の1つの角を二等分する線が、向かい合う辺をどんな比に分けるか調べてみよう。両どなりの辺の長さと、何か関係がありそうかな。

△ABC で、∠A をちょうど半分に分ける線(角の二等分線)を引くよ。この線が対辺 BC と交わる点を D とするね。

これだけ思い出そう

「平行線と線分の比」で、平行な線が引く線分の比の関係を見たね。今回はその平行線の比を道具に使って、角の二等分線が対辺を分ける比をさぐるよ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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△ABC で、∠A をちょうど半分に分ける線(角の二等分線)を引くよ。この線が対辺 BC と交わる点を D とするね。
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D は BC をどんな比で分けるんだろう?AB 側を赤・AC 側を緑にしてみるよ。実はとなりの2辺の比 AB:AC が、そっくり BD:DC に移るんだ。
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数字で確かめよう。 $AB:AC = 4.5:3.0 = 3:2$ 。下の $BD:DC$ も $3.0:2.0 = 3:2$ 。赤と緑の比が、辺でも対辺でもぴったり同じだね。
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なぜ?C から AD に平行な線を引き、BA の延長との交点を E とするよ。錯角・同位角がそろうと、等しい2角の向かいの辺も等しくなり、 $AE=AC$ (どちらも 3.0)の二等辺三角形ができるんだ。
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あとは平行線と線分の比。 $AD \parallel CE$ だから $BA:AE = BD:DC$ 。 $AE=AC$ なので $AB:AC = BD:DC$ 。となりの2辺の比が、対辺にそっくり移るんだね!