三角関数の合成(加法定理)

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   三角関数のおもしろい性質を見てみよう。サインの波とコサインの波、この2つを足したら、どんな形になると思う?

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   1本目が $y = \sin\theta$(赤)、2本目が $y = \cos\theta$(青むらさき)。形はそっくりで、横に少しずれた双子みたいな波だね。

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   同じ角度θのところで、2つの高さを足していくよ。たとえば $\theta = 0$ では $\sin = 0$、$\cos = 1$。足すと 1 だね。

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   足し合わせた結果がこの黄色い波。バラバラだった2つが、ひとつのなめらかな波にまとまった!$\theta = 0$ ではちょうど高さ 1 だね。

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   θを進めても、赤+青むらさきの高さ=黄色の高さ、がずっと成り立つよ。点を動かして確かめてみよう。

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   いちばん高くなるのは $\theta = 45^\circ$(ラジアンだと $\frac{\pi}{4}$≈0.79、最初の山のところ)。波の高さは $\sqrt2$≈1.41 で、これが合成した波の振幅だよ。

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   なぜ $\sqrt2$? じつは $\sqrt{1^2+1^2}$ なんだ。2つの波を直角三角形の2辺だと思うと、合成した波の高さはその斜辺=$\sqrt2$。三平方とつながってるね。

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   横のずれ $45^\circ$ の正体は「加法定理」。2つの角の和の $\sin$ を、$\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ と分解できる公式だよ。

   $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
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   これを使うと $\sqrt2 \sin(\theta + 45^\circ)$ はちょうど $\sin\theta + \cos\theta$ に戻るんだ。バラバラの2つを1つの波にまとめる、これが合成だよ。スライダーでθを動かしてみよう。

   $$\sqrt2\,\sin(\theta+45^\circ)=\sqrt2\sin\theta\cos45^\circ+\sqrt2\cos\theta\sin45^\circ=\sin\theta+\cos\theta$$