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空間ベクトルの成分と大きさ

空間の点は3つの数の組で表せるよ。その矢印(ベクトル)の大きさは、成分からどう計算できるだろう。直角三角形を取り出して求めよう。

空間の点は3つの数で表すよ。Oから x・y・z 方向に 2・3・6 進んだ点がP。ベクトルOPの成分は (2, 3, 6) だね。

これだけ思い出そう

「三平方の定理」で、直角三角形の斜辺の長さが $a^2+b^2=c^2$ から求められたのを思い出そう。空間の大きさは、この三平方を2回使って組み立てるよ。平面では2つ、空間では3つの成分で点を表すんだ。

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空間の点は3つの数で表すよ。Oから x・y・z 方向に 2・3・6 進んだ点がP。ベクトルOPの成分は (2, 3, 6) だね。
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大きさ $|OP|$ を求めよう。まず底面の直角三角形で対角線 $OQ$ 。 $OQ^2 = 2^2 + 3^2 = 13$ だよ(2乗のまま持っておこう)。
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次はOQを底辺・高さ6の直角三角形OQP。∠Q=90°だね。これを横に取り出してみよう。
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取り出した平面で三平方。 $OP^2 = OQ^2 + 6^2 = 13 + 36 = 49$ 。だから |OP| = 7 だ!
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まとめると $|v| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 。取り出した直角三角形を動かして $OQ^2+6^2$ が大きさの2乗になるのを確かめよう。