群数列 ― 第n群の和

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   奇数を小さい順に 1,3,5,7,… と並べて、「1個 | 2個 | 3個 | …」と区切ったよ(群数列)。第n群には数が n 個ずつ入る。さて、第n群にある数の和は、どんな式になると思う?

3. 2

   試しに各群を足してみて。第1群は 1、第2群は 3+5、第3群は 7+9+11…。出てきた数を並べると、何かに気づくかも。第n群の「最初の数」をどう出すかもポイントだよ。

4. ② 考え方
5. 3

   第n群より前には、$1+2+\dots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$ 個の数が並ぶ。その次が第n群の最初。だから「最初の数」は、左から数えて $\dfrac{n(n-1)}{2}+1$ 番目の奇数だね。

6. 4

   k 番目の奇数は $2k-1$。$k=\dfrac{n(n-1)}{2}+1$ を入れて整理すると、第n群の最初の数は $n^2-n+1$。実際 n=1,2,3,4 で 1,3,7,13 となり、各群の左はしの数とぴったり合うね。

7. 5

   第n群は、初項 $n^2-n+1$ の連続する奇数が n 個。末項は $n^2+n-1$。和は(初項+末項)×個数÷2 $=\dfrac{(2n^2)\cdot n}{2}=n^3$。和がきれいに $n^3$ になるんだ。

8. ③ 解答
9. 6

   答え: 第n群の最初の数は $n^2-n+1$、第n群の和は $n^3$。実際に足した 1, 8, 27, 64 が、ちょうど $1^3,2^3,3^3,4^3$ になっているね。

10. 7

    見つけるコツ: 群数列は「①n個ずつに区切る → ②前に何個あるかで最初の数の位置を出す → ③等差数列の和」の3手。位置さえつかめば、あとはいつもの和の公式で片づくよ。