階差数列で一般項を求める

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   数列 1, 2, 4, 7, 11 …。となりとの差がだんだん大きくなってるね。この数列の n番目(一般項)を、一発で出す式を作りたいんだ。

3. 2

   比をとると $2\div1=2$、$4\div2=2$、でも $7\div4≈1.75$ とバラバラで、等比でもなさそう。じゃあ一般項 $a_n$ は、どんな式になると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   そこで「となりとの差」=階差をとってみよう。$2-1=1$、$4-2=2$、$7-4=3$、$11-7=4$。各棒の、前からの増えぶん(お祝い色)だね。

6. 4

   差は 1, 2, 3, 4!きれいに1ずつ増える等差数列になったね。バラバラに見える数列も、差を見ると規則がかくれていることがあるんだ。

7. 5

   ということは n番目の項は、初項の1に「差を順に全部足したもの」。$a_n = 1 + (1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1))$ と書けるね。

8. 6

   足す差の合計は、1から $n-1$ までの和 $=\dfrac{(n-1)n}{2}$。だから一般項は $a_n = 1 + \dfrac{(n-1)n}{2}$ になるよ。

9. ③ 解答
10. 7

    だから答えは $a_n = 1 + \dfrac{(n-1)n}{2}$。検算しよう。5番目なら $a_5 = 1 + \dfrac{4 \times 5}{2} = 11$。いちばん右の棒の高さとぴったり一致したね!

11. 8

    見つけるコツ: 数列がバラバラでも、まず階差(となりの差)をとる。それが等差や等比なら、初項+差の和で一般項が作れる。これが階差数列の使いどころだよ。