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数列・Σ・漸化式・帰納法

図形数(三角数・四角数)

タイルを形に並べた数。三角数 Tn=1+2+⋯+n=n(n+1)2T_n=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}、四角数 n2n^2。四角数の階差は奇数 2n−12n-1 で、1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2。

主張

タイルを三角形や正方形に並べてできる数を図形数というよ。11 段目に 11 個、22 段目に 22 個…と積んだ三角数は Tn=1+2+⋯+n=n(n+1)2T_n=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}。11 辺 nn の正方形に並べた四角数は n2n^2。おもしろいのは「階差(11 つ大きくしたときに増えるタイル数)」で、四角数を n−1n-1 から nn にすると、外側に L字(かぎ形)の帯が残り、その数は 2n−12n-1 の奇数になる。だから四角数は奇数を順に足したもので、1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2。三角数の階差は nn(まっすぐ 11 ずつ増える)。図形数は「前の形に階差を足して育てる数列」として、数列の規則性を目で確かめるのにぴったりなんだ。

Tn=1+2+⋯+n=n(n+1)2(四角数)=n2n2−(n−1)2=2n−1⟹1+3+5+⋯+(2n−1)=n2\begin{gathered}T_n=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\qquad(\text{四角数})=n^2\\[4pt]n^2-(n-1)^2=2n-1\quad\Longrightarrow\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\end{gathered}
前の正方形(緑)を重ねると、外側に L字の帯が残る。これが四角数の階差=奇数 2n−12n-1 だよ。

成り立つ条件

nn は段数・11 辺の個数(正の整数)。階差(L字=2n−12n-1)を考えるのは 11 つ前の図形がある n≥2n\ge2 のとき(n=1n=1 は前の正方形が無く L字が定義できない)。三角数の和の公式 n(n+1)2\dfrac{n(n+1)}{2} は ∑k=1nk\sum_{k=1}^{n}k そのもので、Σ(和)の公式の特別な場合だよ。

証明(なぜ成り立つ?)

四角数の階差を代数と図の両方で確かめる。n2−(n−1)2n^2-(n-1)^2 を展開すると 2n−12n-1 で、それが L字のタイル数(右の列+上の行)とぴったり合うことを見る。三角数の公式は階段を 22 つ重ねて長方形にして出す。

  1. 1

    四角数を 11 つ大きくしたとき増えるタイル数は、新しい正方形と前の正方形のタイル数の差。これを展開して整理すると、いつも奇数になるんだ。

    n2−(n−1)2=2n−1n^2-(n-1)^2=2n-1
  2. 2

    図で見ると、前の正方形 (n−1)×(n−1)(n-1)\times(n-1) を隅にそろえて重ねたとき、外側に残る L字は「右の列 nn 個」と「上の行 n−1n-1 個」。合わせると、さっきの式とぴったり一致するよ。

    n+(n−1)=2n−1n+(n-1)=2n-1
  3. 3

    この増分を n=1n=1 から積み上げると四角数になる。だから奇数を順に足していくと四角数になる、というわけだね。

    1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2
  4. 4

    三角数 Tn=1+2+⋯+nT_n=1+2+\cdots+n は、同じ階段をもう 11 つ逆さに重ねると縦 n+1n+1・横 nn の長方形(タイル n(n+1)n(n+1) 個)になる。これは和 22 組ぶんだから、半分が三角数。四角数とも、連続する 22 つの三角数の和でつながっているよ。

    Tn=n(n+1)2,Tn−1+Tn=n2T_n=\dfrac{n(n+1)}{2},\qquad T_{n-1}+T_n=n^2

逆

四角数と三角数はつながっていて、連続する 22 つの三角数を足すと四角数になる(Tn−1+Tn=n2T_{n-1}+T_n=n^2)。三角数を 22 つ重ねると n×(n+1)n\times(n+1) の長方形ができることからも分かるね。図形の組み替えで数の関係が見える、というのが図形数の値打ちだよ。

補足・つまずきポイント

つまずきやすいのは三角数の公式と「nn 番目までの和」を混同すること。TnT_n は 11 から nn までの和なので、T5=1+2+3+4+5=15T_5=1+2+3+4+5=15 のように、nn 番目の項ではなく合計を表す。階差の向きにも注意しよう。四角数の階差は奇数 2n−12n-1(差が 22 ずつ増える)、三角数の階差は nn(差が 11 ずつ増える)で、別物。図で「増えたぶん=L字」を毎回数え直すと取り違えにくいよ。

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