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階差数列で一般項を求める

📖 言葉で読む:漸化式と一般項 →図形数(三角数・四角数) →

階差数列で一般項を求める全4問

① 考えてみよう

数列 1, 2, 4, 7, 11 …。となりとの差がだんだん大きくなってるね。この数列の n番目(一般項)を、一発で出す式を作りたいんだ。

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① 考えてみよう
1
数列 1, 2, 4, 7, 11 …。となりとの差がだんだん大きくなってるね。この数列の n番目(一般項)を、一発で出す式を作りたいんだ。
2
比をとると $2\div1=2$ 、 $4\div2=2$ 、でも $7\div4≈1.75$ とバラバラで、等比でもなさそう。じゃあ一般項 $a_n$ は、どんな式になると思う?
② 考え方
3
そこで「となりとの差」=階差をとってみよう。 $2-1=1$ 、 $4-2=2$ 、 $7-4=3$ 、 $11-7=4$ 。各棒の、前からの増えぶん(お祝い色)だね。
4
差は 1, 2, 3, 4!きれいに1ずつ増える等差数列になったね。バラバラに見える数列も、差を見ると規則がかくれていることがあるんだ。
5
ということは n番目の項は、初項の1に「差を順に全部足したもの」。 $a_n = 1 + (1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1))$ と書けるね。
6
足す差の合計は、1から $n-1$ までの和 $=\dfrac{(n-1)n}{2}$ 。だから一般項は $a_n = 1 + \dfrac{(n-1)n}{2}$ になるよ。
③ 解答
7
だから答えは $a_n = 1 + \dfrac{(n-1)n}{2}$ 。検算しよう。5番目なら $a_5 = 1 + \dfrac{4 \times 5}{2} = 11$ 。いちばん右の棒の高さとぴったり一致したね!
8
見つけるコツ: 数列がバラバラでも、まず階差(となりの差)をとる。それが等差や等比なら、初項+差の和で一般項が作れる。これが階差数列の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

数列 $1, 2, 4, 7, 11, \ldots$ を $\{a_n\}$ とし、階差数列を $b_n = a_{n+1} - a_n$ とする。

$b_1 = 2 - 1 = 1$ 、 $b_2 = 4 - 2 = 2$ 、 $b_3 = 7 - 4 = 3$ 、 $b_4 = 11 - 7 = 4$ で、階差が $1, 2, 3, 4, \ldots$ と続くとみると、 $\{b_n\}$ は初項 $1$ 、公差 $1$ の等差数列で $b_n = n$

$n \geqq 2$ のとき、 $a_n = a_1 + (b_1 + b_2 + \cdots + b_{n-1}) = 1 + (1 + 2 + \cdots + (n - 1))$

$1$ から $n - 1$ までの和は $\frac{(n - 1)n}{2}$ なので、 $a_n = 1 + \frac{(n - 1)n}{2}$ ……(*)

(*)に $n = 1$ を代入すると $1 + 0 = 1$ で、 $a_1 = 1$ と一致するので、(*)は $n = 1$ のときも成り立つ。

(確かめ) $a_5 = 1 + \frac{4 \times 5}{2} = 11$

答え $a_n = 1 + \frac{(n - 1)n}{2}$

減点されやすいポイント

階差の和は $b_1$ から $b_{n-1}$ までの $n - 1$ 個なので、「 $n \geqq 2$ のとき」と書いてから式を作り、最後に $n = 1$ でも成り立つかを確かめよう。和を $n$ 個までとってしまうと $1 + \frac{n(n + 1)}{2}$ になって、 $a_1 = 2$ とずれるよ。初項の $1$ を足し忘れた $\frac{(n - 1)n}{2}$ では $a_5 = 10$ になるから、 $a_5 = 11$ で確かめるくせをつけようね。

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