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三次関数のグラフ

次数が3になった三次関数 $y = a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ のグラフを見てみよう。 $x$ 軸との交点と、かっこの中身とのあいだにどんな関係があるかな。

三次関数 $y = a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ のグラフだよ。次数が3になると、ひと山ひと谷のうねった S字の形になるんだ。

これだけ思い出そう

「二次方程式は放物線とx軸」で、グラフと $x$ 軸の交点が方程式の解だったね。「因数分解はタイルの組み直し」で見たかけ算の形とあわせて、今回は三次のかっこの積を交点と結びつけるよ。

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三次関数 $y = a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ のグラフだよ。次数が3になると、ひと山ひと谷のうねった S字の形になるんだ。
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x 軸を3回横切っているね。この3つの $x$ が実数解。いまは $x=-3$ 、 $0$ 、 $3$ の3個だよ。
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交点の場所は、じつはかっこの中身そのもの。 $(x-3)$ が 0 になる $x=3$ で交わる。だから $r_1$ ・ $r_2$ ・ $r_3$ がそのまま交点なんだ。
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$r_3$ を動かすと、右の交点だけがついてくる。曲線の形も、その点を通るようにぐにゃっと変わるね。
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$r_2$ を $r_3$ に重ねてみよう。2つの交点が1つに合わさると、そこで x 軸を「横切らずに接する」。これが重根(解が重なった状態)だよ。
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残りの $r_1$ も重ねると、3つの根が1点に集まって三重根。ぜんぶの交点を1か所に押し当てた形になったね。
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交点 = 実数解。何次の関数でも「かっこの中が 0 になる x」で x 軸と交わる。スライダーで根を動かして確かめてみよう。