⏳ 読み込み中… この表示が消えないときは、ページを再読み込みしてください

高次方程式の実数解の個数

いつも因数分解できるとは限らない三次式。 $y = 0.3x^3 + px + q$ のグラフと $x$ 軸が何回交わるかで、実数解が何個あるか読み取ってみよう。

三次の係数形 $y = 0.3x^3 + px + q$ だよ。いつも因数分解できるとは限らない。だから係数のまま、交点の数で実数解を数えよう。

これだけ思い出そう

「三次関数のグラフ」で、 $x$ 軸との交点が実数解だったね。「判別式で交点の数を読む」では二次で交点の個数を符号から見分けた。今回はその「交点の数=実数解の数」を、係数を動かしながら三次で確かめるよ。

あやしいと思ったら、先にここへ戻ろう

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1
三次の係数形 $y = 0.3x^3 + px + q$ だよ。いつも因数分解できるとは限らない。だから係数のまま、交点の数で実数解を数えよう。
2
いまは山と谷があって、 $x$ 軸を3回横切ってる。交点3つ=実数解3個。 $p$ がマイナスだと、このうねりが出るんだ。
3
$p$ を 0 に近づけると、山と谷がだんだん浅くなって、両はしの2つの交点が内側へ近づいてくるよ。
4
$p$ をプラスにすると、うねりが消えて右肩上がりの一本道に。交点は真ん中の1つだけ。実数解が3個から1個に減ったね。
5
消えた2つの交点は、どこへ行ったんだろう? じつは実数では表せない解(=虚数解。くわしくは複素数で習うよ)になったんだ。 $x$ 軸に見えるのは実数解だけなんだね。
6
$p$ をうねりが出る値に戻して、今度は $q$ で持ち上げてみる。曲線が上へずれると、右側の谷が浮いて2交点が $x$ 軸から離れ、解は左側の1個だけになるよ。
7
高次方程式の実数解の数 = グラフと $x$ 軸の交点の数。 $p$ で山谷の深さ、 $q$ で高さを変えて、交点の数の変わり方を確かめてみよう。