図形と相似
形が同じ(大きさは違ってよい)三角形だと言える3つの決め手。
2つの三角形は、次のどれか1つが成り立てば相似(形が同じで、大きさだけ拡大・縮小の関係)になるよ。
とくに③は『角が2つそろえば残り1つも自動的に等しい』ので、いちばん使う場面が多い決め手だよ。
相似では『辺の長さ』ではなく『辺の比』がそろえばいい(ここが合同とのいちばんの違い)。対応する順をそろえて と書くこと。平行線があると同位角・錯角から等しい角が見つかり、③の『2角相等』に持ち込みやすい。
相似条件を「合同条件を、大きさは問わず形だけにゆるめたもの」として考える。
相似は「形が同じで、大きさだけ拡大・縮小の関係」。合同条件が形も大きさも1つに決めるのに対し、相似条件は大きさを自由にしたまま形だけを1つに決める決め手だよ。
③2角相等: 三角形の角の和は だから、2角が決まれば残りの1角も自動で決まる。3つの角がそろえば形は決まり、あとは拡大・縮小の違いだけ。だからいちばんよく使う。
②2辺比夾角相等: はさむ角が等しく、その2辺の比が等しいとき、小さいほうを比のぶんだけ拡大すれば「2辺夾角相等(合同)」になり、形が一致する。
①3辺比相等: 3辺の比が等しいとき、小さいほうを比のぶんだけ拡大すれば「3辺相等(合同)」になり、やはり形が一致する。
どの条件も「拡大・縮小すれば合同になる」ことに行きつく。だから相似条件は、合同条件を相似比のぶんだけ広げたもの、と見るとつながって覚えられるよ。
相似な三角形どうしでは、対応する角がすべて等しく、対応する辺の比もすべて等しい。逆に、その全部を確かめなくても上の条件1つで相似が決まる。合同は相似比が の特別な場合、と見ると2つの定理がつながるよ。
相似がいえると、対応する辺の比はすべて等しい(相似比)。そして面積の比は相似比の2乗、体積の比は3乗になる、という拡張がとても役に立つ。たとえば相似比が なら、面積比は 、体積比は だね。
言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。
この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。