中点連結定理(定理辞典)

主張

$\triangle ABC$ で、辺 $AB$ の中点を $M$ 、辺 $AC$ の中点を $N$ とすると、その2点を結んだ線分 $MN$ は、残りの辺(底辺) $BC$ と平行になり、長さはちょうど半分になるよ。「中点どうしを結ぶ → 底辺と平行で半分」とセットで覚えよう。 $A$ を中心に $\tfrac12$ に縮めた相似(相似比 $1:2$ )と考えると、平行も半分もいっぺんに納得できる。

MN \parallel BC,\quad MN=\tfrac12\,BC

AB

・

AC

の中点

M

・

N

を結ぶと、

MN

(赤)は底辺

BC

(緑)に平行。長さはちょうど半分になる。

成り立つ条件

$M$ ・ $N$ がそれぞれ $AB$ ・ $AC$ の「中点」であることが大前提。中点でなく、ただ $AB$ ・ $AC$ を同じ比に分ける点どうしを結んだ場合でも「底辺と平行・その比の長さ」になる(これは平行線と線分の比の話)。中点連結定理は、その比が $1:2$ のいちばん使う場合だと思えばいいよ。

証明(なぜ成り立つ?)

頂点 $A$ を中心に $\tfrac12$ に縮小した相似 $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ を作り、対応する角と辺から平行と半分を同時に出す。

1
$M$ は $AB$ の中点だから $AM:AB=1:2$ 、 $N$ は $AC$ の中点だから $AN:AC=1:2$ 。 $2$ 辺の比がそろっているね。
2
角 $A$ は $\triangle AMN$ と $\triangle ABC$ で共通。「 $2$ 辺の比が等しく、その間の角が等しい」から、この $2$ つは相似だよ(相似比 $1:2$ )。
$\triangle AMN \sim \triangle ABC$
中点 $M$ ・ $N$ をとると $AM:AB=AN:AC=1:2$ 。間の角 $A$ (黄)は共通だから、 $\triangle AMN$ (赤)は $\triangle ABC$ と相似(相似比 $1:2$ )。
3
相似な三角形では対応する角が等しい。 $\angle AMN=\angle ABC$ で、これは直線 $AB$ を横切る線 $MN$ ・ $BC$ の同位角だから、同位角が等しい $\Longrightarrow$ $MN \parallel BC$ 。
4
相似比が $1:2$ だから、対応する辺も $MN:BC=1:2$ 。つまり $MN$ は $BC$ のちょうど半分だ。平行と半分が、ひとつの相似からまとめて出たね。
$MN=\tfrac12\,BC$

逆

逆も成り立つ。 $\triangle ABC$ で、辺 $AB$ の中点 $M$ を通り、底辺 $BC$ に平行な直線を引くと、その直線は残りの辺 $AC$ の中点 $N$ を必ず通る。「片方の中点から底辺に平行に引けば、もう片方も中点で切る」と読めて、中点を作図・証明で取り出すのに使えるよ。

補足・つまずきポイント

台形にも兄弟がいる。上底と下底が平行な台形で、両脚の中点を結んだ「中段(中点連結線)」の長さは、上底と下底の平均(和の半分)になる。三角形の「半分」を台形へ広げた形だね。どの2辺の中点をとったかで、平行になる相手(底辺)が変わる点にも注意しよう。

見て確かめる

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。

台形の中段の長さを求める

中点連結定理

📐 主張

✅ 成り立つ条件

📝 証明(なぜ成り立つ?)

🔄 逆

💭 補足・つまずきポイント

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