1+2+…+n を図形で求める(Σ=図形数)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   $1+2+3+\dots+n$ を計算したいんだ。1個・2個・3個…と、下から段々にタイルを積むと、こんな階段(三角数)ができるね。

3. 2

   項が増えるといちいち足すのは大変。この階段を別の形に組み替えると、$1$から$n$までの和を一発で出す公式が作れそう。どんな式になると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   タイルの数を数えると 10個。つまり $1+2+3+4=10$。この「$1$から$n$までの和」を、いちいち足さずに出す公式がほしいよね。

6. 4

   そこで、同じ1辺($n = 4$)の正方形を後ろに重ねてみる。タイルは全部で $4 \times 4=16$個。階段はそのおよそ半分を埋めているのがわかるね。

7. 5

   よく見ると、階段はきっちり半分(8個)より少しだけ多い。対角線にそって並ぶ段のぶん、半分を超えてはみ出しているのが見える?

8. 6

   つまり階段=「正方形の半分」+「対角線の半分」。16の半分は8、対角線の4個の半分は2。合わせて $8+2=10$。ちゃんと合うね!

9. 7

   式にすると $n^2/2 + n/2 = n(n+1)/2$。$n = 4$ なら $4 \times 5 \div 2 = 10$。足し算しなくても、この公式一発で和が出せるんだ。

10. ③ 解答
11. 8

    1辺を5に増やすと、和は $1+2+3+4+5=15$。公式でも $5 \times 6 \div 2=15$。正方形と階段が育っても、ぴったり成り立ったままだね。

12. 9

    $\sum$(1から$n$までの和)=三角数=$n(n+1)/2$。数列の和は、タイルを正方形に重ねて「半分+対角線」と見れば図で求まる。これが使いどころだよ。