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1+2+…+n を図形で求める(Σ=図形数)

📖 言葉で読む:等差数列の和 →Σ(和)の公式 →図形数(三角数・四角数) →

1+2+…+n を図形で求める(Σ=図形数)全4問

① 考えてみよう

$1+2+3+\dots+n$ を計算したいんだ。1個・2個・3個…と、下から段々にタイルを積むと、こんな階段(三角数)ができるね。

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
$1+2+3+\dots+n$ を計算したいんだ。1個・2個・3個…と、下から段々にタイルを積むと、こんな階段(三角数)ができるね。
2
項が増えるといちいち足すのは大変。この階段を別の形に組み替えると、 $1$ から $n$ までの和を一発で出す公式が作れそう。どんな式になると思う?
② 考え方
3
タイルの数を数えると 10個。つまり $1+2+3+4=10$ 。この「 $1$ から $n$ までの和」を、いちいち足さずに出す公式がほしいよね。
4
そこで、同じ1辺( $n = 4$ )の正方形を後ろに重ねてみる。タイルは全部で $4 \times 4=16$ 個。階段はそのおよそ半分を埋めているのがわかるね。
5
よく見ると、階段はきっちり半分(8個)より少しだけ多い。対角線にそって並ぶ段のぶん、半分を超えてはみ出しているのが見える?
6
つまり階段=「正方形の半分」+「対角線の半分」。16の半分は8、対角線の4個の半分は2。合わせて $8+2=10$ 。ちゃんと合うね!
7
式にすると $n^2/2 + n/2 = n(n+1)/2$ 。 $n = 4$ なら $4 \times 5 \div 2 = 10$ 。足し算しなくても、この公式一発で和が出せるんだ。
③ 解答
8
1辺を5に増やすと、和は $1+2+3+4+5=15$ 。公式でも $5 \times 6 \div 2=15$ 。正方形と階段が育っても、ぴったり成り立ったままだね。
9
$\sum$ (1から $n$ までの和)=三角数= $n(n+1)/2$ 。数列の和は、タイルを正方形に重ねて「半分+対角線」と見れば図で求まる。これが使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$ とする。

1段目に1個、2段目に2個、…、 $n$ 段目に $n$ 個のタイルを、はしをそろえて積むと階段の形になり、そのタイルの個数が $S$ である。

この階段を、1辺に $n$ 個のタイルが並ぶ正方形に重ねる。正方形のタイルは $n^2$ 個である。

階段は、正方形の対角線上に並ぶ $n$ 個のタイルと、対角線の片側の部分を合わせたものである。

正方形から対角線上の $n$ 個を除いた $n^2 - n$ 個は、対角線について対称な2つの部分に分かれるので、片側は $\frac{n^2 - n}{2}$ 個である。

よって $S = \frac{n^2 - n}{2} + n = \frac{n^2 + n}{2} = \frac{n(n + 1)}{2}$

(確かめ) $n = 4$ のとき $\frac{4 \times 5}{2} = 10$ で、 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ と一致する。

答え $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

減点されやすいポイント

階段は正方形のちょうど半分ではなく、対角線上の $n$ 個の半分( $\frac{n}{2}$ 個)だけ半分より多いのがポイントだよ。解説の「半分+対角線の半分」と、答案の「対角線を除いた部分の半分+対角線」は、同じ数を別の分け方で数えているんだ。そこを忘れて $\frac{n^2}{2}$ とすると、 $n = 4$ で $8$ になって $10$ と合わないね。正方形まるごとの $n^2$ ( $n = 4$ で $16$ )も多すぎるよ。公式を作ったら、小さい $n$ で実際にたした値と比べて確かめよう。

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