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指数関数と対数関数

ぐんぐん立ち上がる指数関数 $y = a^x$ と、その逆をたどる対数関数 $y = \log_a x$ 。この2本のグラフの形に、どんな関係が隠れているか見てみよう。

指数関数 $y = a^x$ だよ。いまは $a=2$ で $y = 2^x$ 。 $x$ が1増えるごとに2倍、2倍…とぐんぐん立ち上がる曲線だね。

これだけ思い出そう

「二次関数は放物線」で、式の違いがグラフの形にそのまま出ることを見たね。今回は指数と対数という新しい2つの関数のグラフを並べて、形の違いと、2本の間のつながりをさぐるよ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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指数関数 $y = a^x$ だよ。いまは $a=2$ で $y = 2^x$ 。 $x$ が1増えるごとに2倍、2倍…とぐんぐん立ち上がる曲線だね。
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面白いのは、必ず (0, 1) を通ること。どんな数も0乗は1だから、 $a$ が何でも $x=0$ のとき $y=1$ になるんだ。
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次は対数関数 $y = \log_a x$ 。これは指数の「逆」で、『 $a$ を何乗したら $x$ になる?』を答える関数だよ。必ず (1, 0) を通る。
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この2本、なんだか似た形で向きが違うよね。鏡の線 $y=x$ を引いてみよう。ここで折り返すと…ぴったり重なるんだ。
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指数と対数は、 $y=x$ で折り返した鏡像。一方の (0,1) が、もう一方では (1,0) に映る。逆の関係だからこうなるんだね。
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底 $a$ を大きくしてみよう。指数はより急に立ち上がり、対数はよりゆっくりになる。鏡像のまま、対になって変わるね。
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計算のしかたはまた今度。まずは『指数はぐんぐん・対数はゆっくり、2つは鏡像』という形をつかもう。 $a$ を動かして見比べてみて。