三角形の五心
本の中線は 点で交わり、その点は各中線を頂点側から に分ける。
頂点と「向かい合う辺の中点」を結ぶ線を中線というよ。三角形の 本の中線は必ず 点で交わり、その点を重心といって で表す。 はどの中線も、頂点側:中点側 に分ける。たとえば辺 の中点を とすると だね。
結ぶ相手が「辺の中点」であること(中線)。垂線や二等分線ではなく中点を使う点が、外心・内心との大きな違い。 は頂点側が 、中点側が の向き(逆にしない)。
本の中線の交点を作り、中点連結定理から相似をつくって を示す。 本目も同じ「 の点」を通ることを確かめる。
辺 の中点を 、辺 の中点を とし、中線 と の交点を とする。
・ は中点どうしだから、中点連結定理より かつ 。
なので錯角が等しく、 と は 角が等しくて相似。相似比は だね。
相似比から 。どの 本の中線で交点を作っても「中線を頂点側から に分ける点」になるので、 本目も同じ を通る。だから 本は 点で交わる。
逆に、 本の中線上で頂点側から に分ける点をとると、それは必ず重心になり、残り 本の中線もその点を通る。「中線を に分ける点」と「 本の中線の交点」は同じ点だね。
重心はどんな三角形でも必ず内部にある(内心と同じ)。厚紙の三角形なら を指 本で支えられる「バランスの中心」で、座標では と 頂点の平均で求まる。中線は三角形の面積を 等分することもあわせて覚えよう。「」は中線上の比であって、中線どうしの長さの比ではない点に注意。証明には中点連結定理(中点を結ぶと底辺に平行で半分)を使う。
言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。
この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。