内積の成分表示

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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   前は内積を $a \cdot b = |a||b|\cos\theta$ で習ったね。今度は同じ内積を、この2つのベクトルの「成分」から計算してみよう。

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   原点から矢印の先までの進み方が成分だよ。$a$ は右に4・上に2で $(4, 2)$、$b$ は右に1・上に3で $(1, 3)$ だね。

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   内積は成分どうしをかけて足すだけ。$a \cdot b = 4\cdot1 + 2\cdot3 = 4 + 6 = 10$ だよ。角度を測らなくても出せた!

   $$\vec a\cdot\vec b = x_1x_2 + y_1y_2 = 4\cdot1 + 2\cdot3 = 10$$
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   この10、前のやり方 $|a||b|\cos\theta$ で出しても実は同じ10になるんだ。ここの角 $\theta$ はちょうど $45^\circ$ だよ。

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   成分が分かると面積もすぐ。a と b を2辺にする三角形 OAB は、たすきにかけて引いて半分。$S=\frac12|4\cdot3-1\cdot2|=5$ だよ。

   $$S=\tfrac12\,|x_1 y_2 - x_2 y_1|=\tfrac12|4\cdot3-1\cdot2|=5$$
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   面積は $\frac12|a||b|\sin\theta$ でも書けたね。内積から $\cos\theta$ が分かれば $\sin\theta$ も決まる。だから下の式でも面積はやっぱり5。内積と面積はつながってるんだ。

   $$S=\tfrac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}=\tfrac12\sqrt{20\cdot10-10^2}=5$$
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   b を a を90°回した向き (−2, 4) に動かそう。すると $a \cdot b = 4\cdot(-2) + 2\cdot4 = -8 + 8 = 0$ になるよ。

   $$\vec a\cdot\vec b = 4\cdot(-2) + 2\cdot4 = 0$$
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   成分の内積が0!前と同じで「$a \cdot b = 0$ ⇔ 垂直」。垂直かどうかも、かけて足すだけで判定できるんだね。