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ベクトル

ベクトルの内積

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=a1b1+a2b2\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2。a⃗⋅b⃗=0  ⟺  \vec a\cdot\vec b=0\iff 垂直。

主張

22 つのベクトル a⃗,b⃗\vec a,\vec b のなす角を θ\theta とすると、内積は a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta。図形的には「a⃗\vec a の長さ ×\times b⃗\vec b の a⃗\vec a 方向への正射影 ∣b⃗∣cos⁡θ|\vec b|\cos\theta」だよ。成分では a⃗=(a1,a2)\vec a=(a_1,a_2)、b⃗=(b1,b2)\vec b=(b_1,b_2) のとき a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2 と、ただの掛けて足すだけで計算できる。なす角が鋭角なら内積はプラス、鈍角ならマイナス、直角(90∘90^\circ)ならちょうど 00 になる。

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡θ=a1b1+a2b2\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2
θab|b|cos θ
緑が a⃗\vec a、紫が b⃗\vec b。b⃗\vec b から a⃗\vec a へ下ろした正射影 OH=∣b⃗∣cos⁡θOH=|\vec b|\cos\theta に ∣a⃗∣|\vec a| を掛けたものが内積。

成り立つ条件

a⃗,b⃗\vec a,\vec b はともに 0⃗\vec 0 でない(でないと「なす角 θ\theta」が決まらない)。θ\theta は 0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ の範囲でとる。

証明(なぜ成り立つ?)

内積を ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ|\vec a||\vec b|\cos\theta と定め、∣b⃗−a⃗∣2|\vec b-\vec a|^2 に余弦定理を当てて cos⁡θ\cos\theta を消すと、成分式 a1b1+a2b2a_1b_1+a_2b_2 と一致する。

  1. 1

    内積を a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta と定める。これは「a⃗\vec a 方向への b⃗\vec b の正射影 ∣b⃗∣cos⁡θ|\vec b|\cos\theta」に ∣a⃗∣|\vec a| を掛けた量だね。

  2. 2

    a⃗,b⃗, b⃗−a⃗\vec a,\vec b,\ \vec b-\vec a を 33 辺とする三角形に余弦定理を使うと、cos⁡θ\cos\theta を含む項が出る。これを ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ|\vec a||\vec b|\cos\theta について解く。

    ∣b⃗−a⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ ⇒ ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=12 ⁣(∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−∣b⃗−a⃗∣2)|\vec b-\vec a|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos\theta\ \Rightarrow\ |\vec a||\vec b|\cos\theta=\tfrac12\!\left(|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\vec b-\vec a|^2\right)
  3. 3

    右辺を成分 a⃗=(a1,a2)\vec a=(a_1,a_2)、b⃗=(b1,b2)\vec b=(b_1,b_2) で計算する。∣a⃗∣2=a12+a22|\vec a|^2=a_1^2+a_2^2 などを代入すると 22 乗の項がきれいに消えて、残るのは a1b1+a2b2a_1b_1+a_2b_2。

    12 ⁣{(a12+a22)+(b12+b22)−((b1−a1)2+(b2−a2)2)}=a1b1+a2b2\tfrac12\!\left\{(a_1^2+a_2^2)+(b_1^2+b_2^2)-\bigl((b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2\bigr)\right\}=a_1b_1+a_2b_2
  4. 4

    だから a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=a1b1+a2b2\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2。とくに θ=90∘\theta=90^\circ では cos⁡θ=0\cos\theta=0 だから内積も 00。だから 0⃗\vec 0 でない 22 ベクトルが垂直   ⟺  \iff 内積 00 が出る。

逆

内積の符号がなす角を教えてくれる。a⃗⋅b⃗>0\vec a\cdot\vec b>0 なら鋭角、<0<0 なら鈍角、そして a⃗⋅b⃗=0  ⟺  a⃗⊥b⃗\vec a\cdot\vec b=0\iff\vec a\perp\vec b(ともに 0⃗\vec 0 でないとき)。この「内積 00 ⇔ 垂直」が内積のいちばん大事な使い道だね。

補足・つまずきポイント

22 つの式 ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ|\vec a||\vec b|\cos\theta と a1b1+a2b2a_1b_1+a_2b_2 が等しいのは余弦定理から出る。内積がわかれば、なす角 cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} や正射影 ∣b⃗∣cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣|\vec b|\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|} を逆に取り出せる。空間ベクトルでも同じで、成分が 11 つ増えて a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 になるだけだよ。

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