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ベクトルの内積

2つのベクトルには「内積」という、かけ合わせ方があるよ。向きの違いで値がどう変わるのか、垂線を下ろして確かめよう。

向きと大きさを持つ 2 つのベクトル a と b。この 2 つの「内積」 $a \cdot b$ を考えてみよう。

これだけ思い出そう

「ベクトルの和」で、ベクトルは向きと大きさを持つ量だと見たね。2つのベクトルの間の角に注目するよ。角と辺の比を結ぶ $\cos$ は「三角比」で登場したものだよ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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向きと大きさを持つ 2 つのベクトル a と b。この 2 つの「内積」 $a \cdot b$ を考えてみよう。
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a と b のあいだの角を θ とするね。
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$b$ から $a$ の方向へまっすぐ垂線を下ろそう。その足までの長さ $OH$ が、 $b$ の「正射影」 $= |b|\cos\theta$ だよ。
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内積は「a の長さ $\times$ 正射影」。つまり $a \cdot b = |a||b|\cos\theta$ 。これが内積の正体だよ。
$\vec a\cdot\vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\theta$
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θ を 90°より大きくしてみよう。すると正射影 H は O の反対側へ。内積はマイナスになるよ。
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ちょうど 90°(垂直)のとき、正射影は 0。だから「 $a \cdot b = 0$ ⇔ a と b は垂直」。これが内積のいちばん大事な使い道だよ。