証明: 接弦定理

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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   直線は点 $T$ で円に接していて、そこから弦 $TA$ を引いてあるよ。接線上に、弦と同じ側の点 $X$ をとるね。赤い $\angle XTA$ が「接線と弦の角」。点 $P$ はその反対側の弧にいるよ。

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   補助線を引こう。中心 $O$ から半径 $OT$・$OA$ の2本だよ。接線は接点を通る半径に垂直だったよね。だから $\angle XTO$ はきっちり直角だ。

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   $OT$ と $OA$ はどちらも半径だから同じ長さ。つまり $\triangle OTA$ は二等辺三角形だ。ということは、底辺 $TA$ の両はしの角(緑)が等しくなるね。

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   $\triangle OTA$ の内角の和は $180^\circ$。緑の底角が2つ分あるから、紫の中心角 $\angle TOA$ と足して $180^\circ$ だね。底角について解くと、直角から中心角の半分を引いた形になるよ。

   $$\angle TOA + 2\,\angle OTA = 180^\circ \;\Longrightarrow\; \angle OTA = 90^\circ - \tfrac12 \angle TOA$$
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   ここで赤い角を見て。弦 $TA$ は直角 $\angle XTO$ の内側を通っているから、赤 $=$ 直角 $-$ 緑。さっきの式を入れると $\angle XTA = 90^\circ - \angle OTA = \tfrac12 \angle TOA$。赤は中心角のちょうど半分になった!

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   もう片方の主役、円周角 $\angle APT$ はどうだろう。弦 $TA$ に立つ円周角だから、円周角の定理でこれも中心角 $\angle TOA$ の半分だ。同じ相手の半分になったね。

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   $\angle XTA$ も $\angle APT$ も、同じ中心角 $\angle TOA$ の半分。つまり $\angle XTA = \tfrac12 \angle TOA = \angle APT$。同じものの半分どうしなんだから等しい。接弦定理が示せたよ!

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   見たのは接線と弦がつくる鋭いほうの角だよ。反対側の鈍いほうの角なら、直角から底角を引くかわりに足す形になって、もう一方の弧に立つ円周角と等しくなる。どちらの弧を見ているかを対応させるのがコツだよ。