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証明: 砂時計型は相似(2角相等)

上下の辺が平行な「砂時計型」の図で、向かい合う2つの三角形が相似になることを、角に注目して筋道立てて示してみよう。

上の辺 $AB$ と下の辺 $CD$ が平行だよ( $AB \parallel CD$ )。直線 $AC$ と $BD$ は点 $O$ で交わって、上下に三角形が向かい合う「砂時計型」。この $\triangle OAB$ と $\triangle OCD$ が相似だと示したい。

これだけ思い出そう

「相似条件」で見た3つの決め手のうち、今回使うのは③2組の角がそれぞれ等しいという条件(2角相等)。「平行線の同位角・錯角」の錯角と「対頂角は、いつも等しい」で角をそろえて、相似を証明として組み立てるよ。

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上の辺 $AB$ と下の辺 $CD$ が平行だよ( $AB \parallel CD$ )。直線 $AC$ と $BD$ は点 $O$ で交わって、上下に三角形が向かい合う「砂時計型」。この $\triangle OAB$ と $\triangle OCD$ が相似だと示したい。
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まず交点 $O$ にできる角。 $\angle AOB$ と $\angle COD$ は向かい合っているから、対頂角で等しいね(同じ色)。
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次に $AB \parallel CD$ に注目。直線 $AC$ が2つの平行線を横切るから、錯角で $\angle OAB = \angle OCD$ (別の色)。これでもう1組、角がそろった。
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2組の角がそれぞれ等しい。合同では3辺や2辺夾角が必要だったけど、相似は「2角が等しい」だけで形が決まるんだ。だから $\triangle OAB \backsim \triangle OCD$ (相似条件: 2角相等)!
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相似な三角形は、対応する辺の比がすべて等しい。だから $OA:OC = OB:OD = AB:CD$ 。長さそのものは違っても、比はきれいにそろうよ。
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「平行 → 錯角」と「交点 → 対頂角」で角を2つそろえて相似にのせる。この砂時計型は、線分の長さや比を求める入試問題でくり返し出てくる基本の型だよ。