砂時計型の相似と面積比

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   AB と CD は平行だよ。線分 AD と BC が点 O で交わって、向かい合う2つの三角形=砂時計の形ができたね。

3. 2

   上の三角形 OAB と下の三角形 OCD、面積の比はどうなるかな?長さは 4:6 だけど、面積も同じ比でいいのかな?

4. ② 考え方
5. 3

   まず O のところ。向かい合う角(対頂角)はいつも等しいから、∠AOB = ∠COD だね。

6. 4

   次に AB と CD が平行だから、AD を横切ってできる錯角も等しい。∠OAB = ∠ODC だよ。2角がそれぞれ等しい(=AA相似条件)から △OAB ∽ △ODC(対応は A↔D・B↔C)!

7. 5

   相似比は対応する辺の比、AB:DC = 4:6 = 2:3。ここで大事なのは、面積は長さを2回かけるから「2乗」で効いてくることだよ。

8. ③ 解答
9. 6

   だから面積比は相似比の2乗。$2^2:3^2$ = 4:9 だ。長さは 2:3 でも、面積になると 4:9 と差が開くんだね。

10. 7

    コツは「砂時計型=対頂角+錯角で相似」を見抜くこと。相似だと分かれば、面積比は相似比の2乗で一発だよ。