位置ベクトルと内分点

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   基準点 $O$ を1つ決めると、どの点も「$O$ からの矢印」で場所を表せるよ。これが位置ベクトルで、$A$ は $a$、$B$ は $b$ だね。

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   辺 $AB$ の上に点 $P$ をとろう。$P$ の場所も $a$ と $b$ で表せるんだ。ここでは $AP:PB=1:2$ にしてみるね。

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   $AP:PB=1:2$ のとき、$OP=\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b$。各頂点には『その頂点から遠い側の比』が係数につくよ($a$ には遠い $PB=2$、$b$ には遠い $AP=1$)。

   $$\vec{OP}=\dfrac{n\,\vec a+m\,\vec b}{m+n}\quad(AP:PB=m:n)$$
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   ここで係数の和を見て。$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}$=ちょうど1だね。実は $OP=sa+tb$ で $s+t=1$ なら、$P$ はいつも直線 $AB$ の上に乗るんだ。

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   $a$ と $b$ は平行でない向き(一次独立)だから、$OP$ の表し方は1通りに決まる。だから2通りで書いた式が等しいなら、$a$・$b$ の係数どうしが一致するんだ(係数比較=連立のもと)。