証明: メネラウスの定理

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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   1本の直線が三角形を横切っているよ。辺 $AB$ との交点を $F$、辺 $CA$ との交点を $E$、そして辺 $BC$ の「延長」との交点を $D$ と呼ぶね。

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   作戦は補助線1本だけ。$C$ を通って $AB$ に平行な直線を引き、横断線とぶつかった点を $G$ とするよ。$AF$ も $FB$ も $AB$ の一部だから、どちらも $CG$ と平行だね。この $G$ が橋渡しになるんだ。

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   まず $D$ のまわり。$\triangle DCG$ が $\triangle DBF$ にすっぽり入る「ピラミッド型」だね。$D$ の角は共通で、$BF \parallel CG$ だから同位角も等しい。2角相等で相似だ!

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   相似なら対応する辺の比は等しい。$DB$ には $DC$ が、$BF$ には $CG$ が対応するから、$BD : DC$ を $BF : CG$ に書きかえられるよ。ひとつめの比が $G$ を使った形になった。

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   今度は $E$ のまわり。$\triangle EAF$ と $\triangle ECG$ は砂時計の形だね。$E$ の対頂角が等しくて、$AF$ と $CG$ が平行だから錯角も等しい。またしても2角相等で相似!

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   同じように対応する辺の比を書こう。$EA$ には $EC$ が、$AF$ には $CG$ が対応するね。すると $CE : EA$ が $CG : AF$ に化ける。ふたつめの比も $G$ を経由した形になったよ。

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   3つを掛けてみよう。$FB$ と $BF$ は同じ線分だから約分できるね。$AF$ も $CG$ も分母と分子で出会って、きれいに全部消える。残るのは $1$。メネラウスの定理が示せた!

   $$\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA} = \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BF}{CG}\cdot\frac{CG}{AF} = 1$$
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   補助線1本から、ピラミッド型と砂時計型の相似が同時に生まれたのがミソだよ。比を別の道で書きかえて打ち消す、この筋道は覚えておくと他の証明でも効いてくる。