チェバ・メネラウス
三角形を横切る 本の直線がつくる比の積は 。
本の直線が の辺 を 、辺 を 、辺 の延長を で切るとき、 つの比を頂点 から一周しながら掛けると、その積はちょうど になるよ。横断線の傾きを変えても、各比は動くのに積だけは のまま。チェバが「 点に集まる」話なのに対して、メネラウスは「 本の直線で突っ切る」話だね。
本の直線(横断線)が三角形の 辺の直線と交わること。直線は必ずどれか 辺の「延長」と交わる( 辺すべてを内部で切ることはできない)。比は と一周する向きでそろえて掛ける。
頂点から横断線へ垂線を下ろす。垂線どうしは平行で、できる直角三角形の相似から、各分点の比が「頂点から横断線までの距離」の比になる。
・・ から横断線 へ垂線を下ろし、その長さ(点から までの距離)を ・・ とする。 本の垂線はすべて に垂直だから、互いに平行だね。
は辺 と の交点。・ から下ろした 本の垂線がつくる直角三角形は、 での対頂角が等しく相似。だから は距離 と の比に等しい。
まったく同じ見方を残りの交点にも使うと、・ も距離の比で書ける(延長上の では対頂角でなく での共通角が相似の根拠)。各分点の比が、 つの距離の比に置きかわった。
つを掛けると、距離 ・・ が分母と分子に一巡して現れ、すべて打ち消し合う。残るのは 。
逆も成り立つ。辺(またはその延長)上の 点 ・・ について上の積が なら、 点は 直線上に並ぶ。「比の積が → 点が一直線」と読めるので、 点が共線であることを示す道具になるよ。
図の形で使い分けよう。「 本の線が 点に集まる」ならチェバ、「 本の直線が三角形を突っ切る」ならメネラウス。式の形はそっくりだけど、メネラウスは延長線との交点 が入るのが目印。一周する向きにそろえて比を書くのも同じコツだよ。
言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。
この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。