微分で増減と山・谷を見つける

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   曲線 $y = x^3 - 3x$ のグラフだよ。なめらかに上がって、下がって、また上がる。この山と谷の場所を、微分=接線の傾きで見つけよう。

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   曲線にそっと触れる直線=接線(赤い線)を引いたよ。いまは左のほうで、ぐっと右上がりだね。接線が右上がり=グラフが増えている、の合図だよ。

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   傾きを右の数字で見ておこう。いまはプラス(約6.7)。傾きがプラスのところは、ずっと「のぼり坂」=増えているんだ。

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   接線を右へすべらせていくと…山のてっぺんで傾きがちょうど 0 に!のぼりが止まる場所だね。この点 (−1, 2) を「極大」というよ。

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   山を越えると接線は右下がりに変わる。傾きがマイナスになって、グラフは「くだり坂」=減っていくよ。

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   下りきると、谷の底でまた傾きが 0 になった。この点 (1, −2) が「極小」。山と同じで、折り返すところだね。

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   谷を過ぎると、接線はまた右上がり。傾きはプラスに戻って、グラフはふたたび増えていくよ。

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   まとめると、傾きの符号は プラス→0→マイナス→0→プラス。これが 増える→山→減る→谷→増える のリズム。この符号の並びを表に整理したものが「増減表」だよ。

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   傾き0で折り返すところが、山(極大)と谷(極小)=極値。接線の傾き(微分)を調べると、グラフの形が見えてくるんだ。スライダーで接点を動かしてみよう。